Se quiere calcular la energia total en una región esférica con radio \( \mathrm{R}=3 \) metros, donde la densidad de energía está dada por \( \mathrm{p}(r)=\frac{1}{2} J / \mathrm{m}^{3} \) ¿Cuál es la forma correcta de plantear la integral para calcular la energia total en la esfera? \( \int_{a}^{3} \frac{1}{a^{2}} r^{2} \sin (\theta) d r d \theta d \theta \) \( \int_{a}^{3} \frac{1}{2} r^{2} \sin (\theta) d r d \theta d \theta \) \( \int_{a}^{3} \frac{1}{-2} r^{2} \sin (\theta) d r d \theta d \theta \)

Para calcular la energía total \( E \) en la esfera de radio \( R = 3 \) metros, debemos integrar la densidad de energía \( \mathrm{p}(r)=\frac{1}{2}\,\mathrm{J/m}^3 \) sobre el volumen de la esfera. En coordenadas esféricas, el elemento de volumen se expresa como \[ dV = r^2 \sin (\theta)\,dr\,d\theta\,d\phi. \] La integral total es \[ E = \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{3} \frac{1}{2}\, r^2 \sin (\theta)\,dr\,d\theta\,d\phi. \] La forma del integrando es la densidad multiplicada por \( r^2 \sin(\theta) \). De las opciones dadas, la que incorpora la constante \( \frac{1}{2} \) de la densidad y el factor \( r^2 \sin(\theta) \) es la segunda opción. (Se debe notar que en la notación correcta, las variables de integración en el ángulo deben ser \( d\theta \) y \( d\phi \) en lugar de \( d\theta \) dos veces, y el límite inferior de \( r \) debe ser 0). Por lo tanto, la forma correcta es: \[ \int_{0}^{3} \frac{1}{2}\, r^{2} \sin (\theta)\,dr\,d\theta\,d\phi. \]