(B) $$ F(x)=e^{2 x} \cdot\left(4 x^{5}-3\right)^{2} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Sea 
$$
F(x)=e^{2x}\,(4x^5-3)^2.
$$
Procedemos a derivar $$ F(x) $$ usando la regla del producto y la regla de la cadena.

**Paso 1.** Identificamos las funciones:
$$
u(x)=e^{2x} \quad \text{y} \quad v(x)=(4x^5-3)^2.
$$

**Paso 2.** Derivamos $$ u(x) $$:
$$
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(e^{2x}\right)=2e^{2x}.
$$

**Paso 3.** Derivamos $$ v(x) $$ aplicando la regla de la cadena. Sea 
$$
g(x)=4x^5-3,
$$
entonces
$$
v(x)=\bigl(g(x)\bigr)^2 \quad \text{y} \quad v'(x)=2g(x) \cdot g'(x).
$$
Derivamos $$ g(x) $$:
$$
g'(x)=\frac{d}{dx}\left(4x^5-3\right)=20x^4.
$$
Por lo tanto,
$$
v'(x)=2(4x^5-3)\cdot20x^4=40x^4(4x^5-3).
$$

**Paso 4.** Aplicamos la regla del producto para $$ F(x) $$:
$$
F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
$$
Sustituimos:
$$
F'(x)=2e^{2x}(4x^5-3)^2+e^{2x}\bigl[40x^4(4x^5-3)\bigr].
$$

**Paso 5.** Factorizamos el factor común $$ e^{2x}(4x^5-3) $$:
$$
F'(x)=e^{2x}(4x^5-3)\Bigl[2(4x^5-3)+40x^4\Bigr].
$$

**Paso 6.** Simplificamos el contenido del corchete:
$$
2(4x^5-3)+40x^4=8x^5-6+40x^4.
$$

Por lo tanto, la derivada es:
$$
F'(x)=e^{2x}(4x^5-3)\Bigl(8x^5+40x^4-6\Bigr).
$$
La derivada de $$ F(x) = e^{2x} \cdot (4x^5 - 3)^2 $$ es: $$ F'(x) = e^{2x} (4x^5 - 3) \cdot (8x^5 + 40x^4 - 6). $$

(B) \( F(x)=e^{2 x} \cdot\left(4 x^{5}-3\right)^{2} \)

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