Answer
**a.** \( x = \frac{1}{8} \)
**b.** \( x < 0 \) ou \( x > \frac{1}{8} \)
**c.** \( 0 < x \leq \frac{1}{8} \)
**d.** \( \frac{1}{8} < x < 1 \)
Solution
**a. Résolution de \(\frac{1}{x}=8\)**
Pour résoudre l'équation
\[
\frac{1}{x} = 8,
\]
on multiplie chaque côté par \(x\) (en notant que \(x \neq 0\)) :
\[
1 = 8x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{8}.
\]
**b. Résolution de \(\frac{1}{x} < 8\)**
On étudie deux cas selon le signe de \(x\) :
- **Cas 1 : \(x > 0\)**
Multiplier l'inéquation par \(x>0\) (ce qui ne change pas le sens de l'inégalité) :
\[
\frac{1}{x} < 8 \quad \Rightarrow \quad 1 < 8x \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{8}.
\]
- **Cas 2 : \(x < 0\)**
Pour \(x<0\), on a \(\frac{1}{x} < 0\) et comme \(8>0\) l'inégalité est automatiquement satisfaite.
La solution de l'inéquation est donc :
\[
x < 0 \quad \text{ou} \quad x > \frac{1}{8}.
\]
**c. Résolution de \(\frac{1}{x} \geq 8\)**
On considère à nouveau deux cas :
- **Cas 1 : \(x > 0\)**
Multiplier par \(x>0\) :
\[
\frac{1}{x} \geq 8 \quad \Rightarrow \quad 1 \geq 8x \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{1}{8}.
\]
Comme \(x>0\), la solution dans ce cas est :
\[
0 < x \leq \frac{1}{8}.
\]
- **Cas 2 : \(x < 0\)**
Pour \(x<0\), \(\frac{1}{x}\) est négatif, ce qui ne peut satisfaire \(\frac{1}{x} \geq 8\) puisque \(8>0\).
La solution de l'inéquation est donc :
\[
x \in \left(0, \frac{1}{8}\right].
\]
**d. Résolution de \(1 < \frac{1}{x} < 8\)**
On résout l'inéquation double en deux parties, en étudiant d'abord le cas \(x>0\) (puisque si \(x<0\) alors \(\frac{1}{x}<0\) et n'est pas dans l'intervalle \((1,8)\)).
Pour \(x>0\) :
1. De \(1 < \frac{1}{x}\), on obtient en inversant l'inégalité (attention, la fonction réciproque décroît sur \(\mathbb{R}^{+*}\)) :
\[
1 < \frac{1}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x < 1.
\]
2. De \(\frac{1}{x} < 8\), on a :
\[
\frac{1}{x} < 8 \quad \Leftrightarrow \quad x > \frac{1}{8}.
\]
Ainsi, la solution est :
\[
\frac{1}{8} < x < 1.
\]
**Vérification graphique**
Pour chacune des parties, tracer la courbe de \(y=\frac{1}{x}\) et la droite \(y=8\) (ou \(y=1\) pour la partie d) permet de visualiser :
- Pour la partie **a**, la droite \(y=8\) coupe la courbe \(y=\frac{1}{x}\) au point \(x=\frac{1}{8}\).
- Pour la partie **b**, on observe que pour \(x>0\) la courbe est au-dessous de \(y=8\) lorsque \(x > \frac{1}{8}\), et pour \(x<0\) la courbe est toujours sous \(y=8\).
- Pour la partie **c**, la région où \(y=\frac{1}{x}\) est au-dessus ou égale à \(y=8\) se situe uniquement pour \(x>0\), avec \(0
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Beyond the Answer
Pour résoudre \( \frac{1}{x} = 8 \), on commence par multiplier des deux côtés par \( x \) (en supposant que \( x \neq 0 \)), ce qui nous donne \( 1 = 8x \). En isolant \( x \), on obtient \( x = \frac{1}{8} \).
Pour \( \frac{1}{x} < 8 \), on multiplie par \( x \) pour obtenir \( 1 < 8x \) (ce qui est valide si \( x > 0 \)). Ainsi, \( x > \frac{1}{8} \) ou \( x < 0 \) (car pour \( x < 0 \), l'inéquation inverse se retourne).
Pour \( \frac{1}{x} \geqslant 8 \), les solutions sont \( x \leq \frac{1}{8} \) ou \( x < 0 \).
Enfin, l'inéquation \( 1<\frac{1}{x}<8 \) se décompose en deux parties : \( 1 < \frac{1}{x} \) et \( \frac{1}{x} < 8 \), donnant \( x < 1 \) et \( x > \frac{1}{8} \), donc \( \frac{1}{8} < x < 1 \).
Pour vérifier graphiquement, on trace la courbe de \( y = \frac{1}{x} \), où l'axe des ordonnées coupe à \( y = 8 \) et à \( y = 1 \). Les solutions trouvées se manifestent par les intervalles indiqués dans chaque cas.
