21. Résoudre dans $$ \mathbb{R}^{*} $$ les équations et inéqua- tions, puis vérifier graphiquement. $$ \begin{array}{llll} ext { a. } \frac{1}{x}=8 & ext { b. } \frac{1}{x}

Question

21. Résoudre dans $$ \mathbb{R}^{*} $$ les équations et inéqua- tions, puis vérifier graphiquement. $$ \begin{array}{llll}	ext { a. } \frac{1}{x}=8 & 	ext { b. } \frac{1}{x}<8 & 	ext { c. } \frac{1}{x} \geqslant 8 & 	ext { d. } 1<\frac{1}{x}<8\end{array} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

**a. Résolution de $$\frac{1}{x}=8$$** Pour résoudre l'équation $$ \frac{1}{x} = 8, $$ on multiplie chaque côté par $$x$$ (en notant que $$x \neq 0$$) : $$ 1 = 8x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{8}. $$ **b. Résolution de $$\frac{1}{x} < 8$$** On étudie deux cas selon le signe de $$x$$ : - **Cas 1 : $$x > 0$$** Multiplier l'inéquation par $$x>0$$ (ce qui ne change pas le sens de l'inégalité) : $$ \frac{1}{x} < 8 \quad \Rightarrow \quad 1 < 8x \quad \Rightarrow \quad x > \frac{1}{8}. $$ - **Cas 2 : $$x < 0$$** Pour $$x<0$$, on a $$\frac{1}{x} < 0$$ et comme $$8>0$$ l'inégalité est automatiquement satisfaite. La solution de l'inéquation est donc : $$ x < 0 \quad \text{ou} \quad x > \frac{1}{8}. $$ **c. Résolution de $$\frac{1}{x} \geq 8$$** On considère à nouveau deux cas : - **Cas 1 : $$x > 0$$** Multiplier par $$x>0$$ : $$ \frac{1}{x} \geq 8 \quad \Rightarrow \quad 1 \geq 8x \quad \Rightarrow \quad x \leq \frac{1}{8}. $$ Comme $$x>0$$, la solution dans ce cas est : $$ 0 < x \leq \frac{1}{8}. $$ - **Cas 2 : $$x < 0$$** Pour $$x<0$$, $$\frac{1}{x}$$ est négatif, ce qui ne peut satisfaire $$\frac{1}{x} \geq 8$$ puisque $$8>0$$. La solution de l'inéquation est donc : $$ x \in \left(0, \frac{1}{8}\right]. $$ **d. Résolution de $$1 < \frac{1}{x} < 8$$** On résout l'inéquation double en deux parties, en étudiant d'abord le cas $$x>0$$ (puisque si $$x<0$$ alors $$\frac{1}{x}<0$$ et n'est pas dans l'intervalle $$(1,8)$$). Pour $$x>0$$ : 1. De $$1 < \frac{1}{x}$$, on obtient en inversant l'inégalité (attention, la fonction réciproque décroît sur $$\mathbb{R}^{+*}$$) : $$ 1 < \frac{1}{x} \quad \Leftrightarrow \quad x < 1. $$ 2. De $$\frac{1}{x} < 8$$, on a : $$ \frac{1}{x} < 8 \quad \Leftrightarrow \quad x > \frac{1}{8}. $$ Ainsi, la solution est : $$ \frac{1}{8} < x < 1. $$ **Vérification graphique** Pour chacune des parties, tracer la courbe de $$y=\frac{1}{x}$$ et la droite $$y=8$$ (ou $$y=1$$ pour la partie d) permet de visualiser : - Pour la partie **a**, la droite $$y=8$$ coupe la courbe $$y=\frac{1}{x}$$ au point $$x=\frac{1}{8}$$. - Pour la partie **b**, on observe que pour $$x>0$$ la courbe est au-dessous de $$y=8$$ lorsque $$x > \frac{1}{8}$$, et pour $$x<0$$ la courbe est toujours sous $$y=8$$. - Pour la partie **c**, la région où $$y=\frac{1}{x}$$ est au-dessus ou égale à $$y=8$$ se situe uniquement pour $$x>0$$, avec $$0**a.** $$ x = \frac{1}{8} $$ **b.** $$ x < 0 $$ ou $$ x > \frac{1}{8} $$ **c.** $$ 0 < x \leq \frac{1}{8} $$ **d.** $$ \frac{1}{8} < x < 1 $$

21. Résoudre dans \( \mathbb{R}^{*} \) les équations et inéqua- tions, puis vérifier graphiquement. \( \begin{array}{llll}\text { a. } \frac{1}{x}=8 & \text { b. } \frac{1}{x}<8 & \text { c. } \frac{1}{x} \geqslant 8 & \text { d. } 1<\frac{1}{x}<8\end{array} \)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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