Dada la cónica con ecuación \( -3 \cdot x \cdot y+2 \cdot x+y^{2}+2 \cdot y-12=0 \) determinar la recta tangente y la el punto \( (-1,2) \) escribe lo que se te pide en cada caso: \( \frac{d y}{d x}=\square \) \( \left.\frac{d y}{d x}\right|_{(-1,2)}=\square \) Escribe la recta tangente y normal en forma pendiente ordenada (es decir de la forma \( y=m \cdot x+b \) los espacios correspondientes: recta tangente: recta normal:

Para encontrar la derivada implicita y las rectas, primero vamos a derivar la ecuación dada respecto a \(x\): La ecuación es: \[ -3xy + 2x + y^2 + 2y - 12 = 0 \] Derivando con respecto a \(x\): \[ -3(y + x\frac{dy}{dx}) + 2 + 2y\frac{dy}{dx} + 2\frac{dy}{dx} = 0 \] Ahora podemos agrupar los términos que contienen \(\frac{dy}{dx}\): \[ -3y - 3x\frac{dy}{dx} + 2 + (2y + 2)\frac{dy}{dx} = 0 \] Resolviendo para \(\frac{dy}{dx}\): \[ (-3x + 2y + 2)\frac{dy}{dx} = 3y - 2 \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3y - 2}{-3x + 2y + 2} \] Ahora para el punto \((-1, 2)\): Sustituyendo \(x = -1\) y \(y = 2\): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{3(2) - 2}{-3(-1) + 2(2) + 2} = \frac{6 - 2}{3 + 4 + 2} = \frac{4}{9} \] Por lo tanto: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{4}{9} \] \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(-1,2)} = \frac{4}{9} \] Ahora para la recta tangente: La ecuación de la recta tangente en la forma \(y = mx + b\) se puede encontrar usando la pendiente \(m = \frac{4}{9}\): \[ y - 2 = \frac{4}{9}(x + 1) \] Despejando \(y\): \[ y = \frac{4}{9}x + \frac{4}{9} + 2 = \frac{4}{9}x + \frac{22}{9} \] Entonces, la recta tangente es: \[ \text{recta tangente: } y = \frac{4}{9}x + \frac{22}{9} \] Para la recta normal, que tiene pendiente negativa recíproca: \[ m_{\text{normal}} = -\frac{9}{4} \] Usando el mismo punto: \[ y - 2 = -\frac{9}{4}(x + 1) \] Despejando \(y\): \[ y = -\frac{9}{4}x - \frac{9}{4} + 2 = -\frac{9}{4}x - \frac{9}{4} + \frac{8}{4} = -\frac{9}{4}x - \frac{1}{4} \] Entonces, la recta normal es: \[ \text{recta normal: } y = -\frac{9}{4}x - \frac{1}{4} \]