2. Hallar y clasificar las discontinuidades de la función: \[ f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3 x} \]

Para hallar las discontinuidades de la función \( f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3x} \), comenzamos observando el denominador \( x^2 - 3x \). Podemos factorizarlo como \( x(x-3) \). Esto nos indica que \( f(x) \) presentará discontinuidades donde el denominador se anule, es decir, en \( x = 0 \) y \( x = 3 \). Ahora, clasificamos las discontinuidades: - En \( x = 0 \), el denominador se anula y la función no tiene límite, por lo tanto, es una discontinuidad infinita. - En \( x = 3 \), el numerador también se anula al igual que el denominador, lo que puede llevar a una indeterminación \(\frac{0}{0}\). Para clasificarla, evaluamos el límite de la función y podemos aplicar la regla de l'Hôpital: \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{\operatorname{cos}(x-3)}{1\cdot (x)} = \frac{\operatorname{cos}(0)}{3} = \frac{1}{3}. \] Por lo tanto, \( x = 3 \) es una discontinuidad removible. Resumiendo, la función tiene una discontinuidad infinita en \( x = 0 \) y una discontinuidad removible en \( x = 3 \).