2. Hallar y clasificar las discontinuidades de la función: \[ f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3 x} \]

Para hallar y clasificar las discontinuidades de la función \[ f(x) = \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3x} \] seguiremos los siguientes pasos: ### Paso 1: Identificar el denominador Primero, identificamos el denominador de la función: \[ d(x) = x^{2} - 3x \] ### Paso 2: Encontrar los ceros del denominador Para encontrar las discontinuidades, debemos resolver la ecuación \(d(x) = 0\): \[ x^{2} - 3x = 0 \] Factorizamos la ecuación: \[ x(x - 3) = 0 \] Esto nos da dos soluciones: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 3 \] ### Paso 3: Clasificar las discontinuidades Ahora, debemos clasificar las discontinuidades en \(x = 0\) y \(x = 3\). 1. **Discontinuidad en \(x = 0\)**: - Evaluamos el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a 0: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3x} \] El numerador \(\operatorname{sen}(x-3)\) es continuo y no se anula en \(x = 0\), mientras que el denominador se anula. Por lo tanto, hay una discontinuidad de tipo **infinita** en \(x = 0\). 2. **Discontinuidad en \(x = 3\)**: - Evaluamos el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a 3: \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3x} \] En este caso, el numerador \(\operatorname{sen}(x-3)\) se anula en \(x = 3\) y el denominador también se anula. Para clasificar esta discontinuidad, aplicamos la regla de L'Hôpital: Derivamos el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: \(\operatorname{cos}(x-3)\) - Derivada del denominador: \(2x - 3\) Ahora evaluamos el límite: \[ \lim_{x \to 3} \frac{\operatorname{cos}(x-3)}{2x - 3} = \frac{\operatorname{cos}(0)}{2(3) - 3} = \frac{1}{3} \] Como el límite existe y es finito, la discontinuidad en \(x = 3\) es de tipo **removible**. ### Resumen de las discontinuidades - En \(x = 0\): Discontinuidad infinita. - En \(x = 3\): Discontinuidad removible.