tutti i fattori Ccomuni e non $$ \quad \mathrm{mcm}=\quad 2 x^{2} \quad(3 x-1)^{2} \quad(x+2) $$ comuni) con l'esponente maggiore Calcola il MCD e il mcm dei seguenti polinomi. $$ 625 x^{2}-x^{3} ; \quad 1-2 x+x^{2} $$ $$ \left[\mathrm{MCD}=1-x ; \mathrm{mcm}=x^{2}(1-x)^{2}\right] $$

Question

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Per calcolare il MCD (Massimo Comun Divisore) e il mcm (Minimo Comune Multiplo) dei polinomi $$ 625 x^{2}-x^{3} $$ e $$ 1-2 x+x^{2} $$, seguiamo i seguenti passi:

### Passo 1: Fattorizzazione dei polinomi

1. **Fattorizzazione di $$ 625 x^{2}-x^{3} $$**:
   $$
   625 x^{2}-x^{3} = x^{2}(625 - x) = x^{2}(25^2 - x) = x^{2}(25 - x)(25 + x)
   $$

2. **Fattorizzazione di $$ 1-2 x+x^{2} $$**:
   Questo polinomio è un trinomio quadrato perfetto:
   $$
   1-2 x+x^{2} = (1-x)^{2}
   $$

### Passo 2: Identificazione dei fattori comuni e non comuni

- I fattori del primo polinomio sono: $$ x^{2}, (25 - x), (25 + x) $$
- I fattori del secondo polinomio sono: $$ (1-x)^{2} $$

### Passo 3: Calcolo del MCD

Il MCD è dato dai fattori comuni con l'esponente minore. In questo caso, non ci sono fattori comuni tra i due polinomi, quindi:
$$
\mathrm{MCD} = 1
$$

### Passo 4: Calcolo del mcm

Il mcm è dato dai fattori comuni e non comuni con l'esponente maggiore. Quindi, prendiamo tutti i fattori:

- $$ x^{2} $$ dal primo polinomio
- $$ (1-x)^{2} $$ dal secondo polinomio

Pertanto, il mcm è:
$$
\mathrm{mcm} = x^{2}(1-x)^{2}
$$

### Risultato finale

Riassumendo, abbiamo:
$$
\mathrm{MCD} = 1 \quad \text{e} \quad \mathrm{mcm} = x^{2}(1-x)^{2}
$$
Il MCD dei polinomi $$ 625 x^{2}-x^{3} $$ e $$ 1-2 x+x^{2} $$ è 1, mentre il mcm è $$ x^{2}(1-x)^{2} $$.

tutti i fattori Ccomuni e non \( \quad \mathrm{mcm}=\quad 2 x^{2} \quad(3 x-1)^{2} \quad(x+2) \) comuni) con l'esponente maggiore Calcola il MCD e il mcm dei seguenti polinomi. \( 625 x^{2}-x^{3} ; \quad 1-2 x+x^{2} \) \[ \left[\mathrm{MCD}=1-x ; \mathrm{mcm}=x^{2}(1-x)^{2}\right] \]

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