Answer
El cuadrilátero con vértices \( A(4,5) \), \( B(8,1) \), \( C(2,-5) \) y \( D(-2,-1) \) es un rectángulo porque sus lados consecutivos son perpendiculares y sus lados opuestos son iguales en longitud.
Solution
1. Calcular los vectores correspondientes a los lados:
- \(\vec{AB} = B - A = (8-4,\; 1-5) = (4,\; -4)\).
- \(\vec{BC} = C - B = (2-8,\; -5-1) = (-6,\; -6)\).
- \(\vec{CD} = D - C = (-2-2,\; -1-(-5)) = (-4,\; 4)\).
- \(\vec{DA} = A - D = (4-(-2),\; 5-(-1)) = (6,\; 6)\).
2. Verificar la perpendicularidad de lados consecutivos:
Se comprueba que dos vectores son perpendiculares si su producto punto es 0.
- Para \(\vec{AB}\) y \(\vec{BC}\):
\[
\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 4 \cdot (-6) + (-4) \cdot (-6) = -24 + 24 = 0.
\]
Esto demuestra que \(\vec{AB}\) es perpendicular a \(\vec{BC}\).
- Para \(\vec{BC}\) y \(\vec{CD}\):
\[
\vec{BC} \cdot \vec{CD} = (-6) \cdot (-4) + (-6) \cdot (4) = 24 - 24 = 0.
\]
Por lo tanto, \(\vec{BC}\) es perpendicular a \(\vec{CD}\).
Se concluye que el cuadrilátero posee ángulos rectos en \(B\) y \(C\). Dado que en un cuadrilátero convexo la suma de los ángulos es \(360^{\circ}\), la existencia de dos ángulos rectos consecutivos y lados paralelos opuestos, implica que también los otros dos ángulos son rectos.
3. Comprobar que los lados opuestos son iguales:
- Longitud de \(\vec{AB}\):
\[
|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}.
\]
- Longitud de \(\vec{CD}\):
\[
|\vec{CD}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}.
\]
- Longitud de \(\vec{BC}\):
\[
|\vec{BC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{36+36} = 6\sqrt{2}.
\]
- Longitud de \(\vec{DA}\):
\[
|\vec{DA}| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36+36} = 6\sqrt{2}.
\]
Se observa que los lados opuestos son iguales: \(AB = CD = 4\sqrt{2}\) y \(BC = DA = 6\sqrt{2}\).
4. (Opcional) Verificar que las diagonales son iguales:
- Diagonal \(AC\):
\[
\vec{AC} = C - A = (2-4,\; -5-5) = (-2,\; -10) \quad \Rightarrow \quad |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2} = \sqrt{4+100} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}.
\]
- Diagonal \(BD\):
\[
\vec{BD} = D - B = (-2-8,\; -1-1) = (-10,\; -2) \quad \Rightarrow \quad |\vec{BD}| = \sqrt{(-10)^2 + (-2)^2} = \sqrt{100+4} = \sqrt{104} = 2\sqrt{26}.
\]
Las diagonales son congruentes, lo cual es otra propiedad de los rectángulos.
5. Conclusión: Dado que los lados consecutivos son perpendiculares y los lados opuestos son congruentes, se confirma que el cuadrilátero con vértices \(A(4,5)\), \(B(8,1)\), \(C(2,-5)\) y \(D(-2,-1)\) es un rectángulo.
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