Extrelch 10 1. Déterminer dans chacun des cas les mesures de cet angle appartenant à lintervalle \( r \) : (1) \( \alpha=\frac{\pi}{3} \) et \( I=\left[\frac{20 \pi}{3}, \frac{32 \pi}{3}\right] \) 1 @ \( \alpha=\frac{\pi}{6} \) et \( I=\left[\frac{35 \pi}{3}, \frac{41 \pi}{3}\right] \) \( \alpha=\frac{\pi}{6} \operatorname{ct} I=\left[\frac{49 \pi}{6}, \frac{65 \pi}{6}\right. \)

Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer les mesures des angles \(\alpha\) dans les intervalles donnés. Nous allons procéder étape par étape pour chaque cas. ### Cas 1: \(\alpha = \frac{\pi}{3}\) et \(I = \left[\frac{20\pi}{3}, \frac{32\pi}{3}\right]\) 1. **Calculer les multiples de \(\alpha\)**: L'angle \(\alpha\) peut être exprimé sous forme de multiples de \(2\pi\) pour trouver les valeurs dans l'intervalle \(I\). Nous allons chercher \(k\) tel que: \[ \frac{20\pi}{3} \leq \frac{\pi}{3} + 2k\pi \leq \frac{32\pi}{3} \] 2. **Simplifier l'inégalité**: \[ \frac{20\pi}{3} - \frac{\pi}{3} \leq 2k\pi \leq \frac{32\pi}{3} - \frac{\pi}{3} \] \[ \frac{19\pi}{3} \leq 2k\pi \leq \frac{31\pi}{3} \] 3. **Diviser par \(2\pi\)**: \[ \frac{19}{6} \leq k \leq \frac{31}{6} \] Cela signifie que \(k\) peut prendre les valeurs entières \(k = 4\) ou \(k = 5\). 4. **Calculer les angles correspondants**: - Pour \(k = 4\): \[ \alpha_4 = \frac{\pi}{3} + 8\pi = \frac{25\pi}{3} \] - Pour \(k = 5\): \[ \alpha_5 = \frac{\pi}{3} + 10\pi = \frac{31\pi}{3} \] ### Cas 2: \(\alpha = \frac{\pi}{6}\) et \(I = \left[\frac{35\pi}{3}, \frac{41\pi}{3}\right]\) 1. **Calculer les multiples de \(\alpha\)**: Nous cherchons \(k\) tel que: \[ \frac{35\pi}{3} \leq \frac{\pi}{6} + 2k\pi \leq \frac{41\pi}{3} \] 2. **Simplifier l'inégalité**: \[ \frac{35\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \leq 2k\pi \leq \frac{41\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \] Pour simplifier, nous mettons tout sur un dénominateur commun: \[ \frac{70\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{69\pi}{6} \quad \text{et} \quad \frac{82\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{81\pi}{6} \] Donc: \[ \frac{69\pi}{6} \leq 2k\pi \leq \frac{81\pi}{6} \] 3. **Diviser par \(2\pi\)**: \[ \frac{69}{12} \leq k \leq \frac{81}{12} \] Cela signifie que \(k\) peut prendre les valeurs entières \(k = 6\) ou \(k = 7\). 4. **Calculer les angles correspondants**: - Pour \(k = 6\): \[ \alpha_6 = \frac{\pi}{6} + 12\pi = \frac{73\pi}{6} \] - Pour \(k = 7\): \[ \alpha_7 = \frac{\pi}{6} + 14\pi = \frac{85\pi}{6} \] ### Résumé des résultats: - Pour le premier cas, les angles sont \(\frac{25\pi}{3}\) et \(\frac{31\pi}{3}\). - Pour le deuxième cas, les angles sont \(\frac{73\pi}{6}\) et \(\frac{85\pi}{6}\).