Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник, один катет которого равен 12 cm , а гипотенуза 20 см. Все двугранные углы при основании равны \( 60^{\circ} \). Вычислите высоту боковой грани пирамиды. Ответ: высота боковой грани пирамиды

Мы ищем высоту (то есть длину перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на основание треугольной боковой грани) в данной пирамиде с треугольным основанием. Нам даны следующие данные: 1. Основание – прямоугольный треугольник с одним катетом 12 см и гипотенузой 20 см. (Из теоремы Пифагора второй катет равен √(20²–12²)=16 см.) 2. Все двугранные углы при основании (то есть углы между каждым боковым лицом и плоскостью основания, измеряемые вдоль соответствующего ребра основания) равны 60°. Обозначим: • S – вершина пирамиды, • треугольник ABC – основание, пусть AB = 12, AC = 16, а BC = 20. (Угол A – прямой.) • O – вертикальная проекция S на плоскость основания. • H = SO – высота пирамиды. • Для каждой боковой грани с основанием (например, грань SAB с основанием AB) её высота (опущенный в этой грани перпендикуляр из S на сторону AB) обозначим h₁ (поскольку все боковые грани по условию «одинаковые» по величине углов наклона, искомая высота окажется та же для любой из них). Рассмотрим боковую грань, например, плоскость SAB. Её пересечение с основанием – прямая AB. По условию двугранного угла вдоль ребра AB угол между плоскостью SAB и плоскостью основания равен 60°. Это означает, что если из S в грани SAB опустить перпендикуляр на AB (пусть его длина равна именно h₁ – высота боковой грани), то его вертикальная (то есть, перпендикулярная основанию) составляющая равна h₁·sin60. Но эта вертикальная составляющая равна и высоте пирамиды H. То есть получаем соотношение   H = h₁ · sin60   (1) Поскольку sin60 = √3⁄2, выражаем h₁:   h₁ = H/(sin60) = (H)/(√3/2) = 2H/√3. Осталось найти H – высоту пирамиды. Как оказывается, условие равенства двугранных углов при основании накладывает требование на положение проекции O. Действительно, для любой стороны основания (например, AB) рассмотрим расстояние от O до прямой AB. Пусть это расстояние равно d. Тогда при рассмотрении сечения плоскостью, перпендикулярной AB и проходящей через S, боковая грань отклонена от горизонтали на 60°. В этом сечении длина вертикального отрезка (H) и горизонтальная составляющая (d) связаны соотношением   tan60 = H/d  →  d = H/tan60 = H/√3. Заметим, что подобное рассуждение справедливо для каждой стороны основания, то есть расстояние от точки O до каждой стороны равно H/√3. Значит, O равноудалена от всех сторон треугольника ABC – то есть O является его инцентром, а расстояние от O до стороны есть вписанный радиус r. Таким образом,   r = H/√3   (2)   H = r√3. Найдем r для нашего основания. Для треугольника со сторонами 12, 16, 20: • Площадь: A = ½·12·16 = 96 см². • Полупериметр: s = (12+16+20)/2 = 24 см. • Вписанный радиус: r = A/s = 96/24 = 4 см. Отсюда   H = 4√3 (см). Теперь вернёмся к высоте боковой грани h₁:   h₁ = 2H/√3 = 2·(4√3)/√3 = 8 (см). Ответ: высота боковой грани пирамиды равна 8 см.