Dada la curva con ecuación \( 4 \cdot x^{2}+x-y^{2}+y-3=0 \) determinar la recta tangente y la recta norm \( (-1,1) \) escribe lo que se te pide en cada caso: \( \frac{d y}{d x}=\square \) Escribe el resultado de la derivada anterior de manera implicita. \( \left.\frac{d y}{d x}\right|_{(-1,1)}=\square \) Escribe la recta tangente y normal en forma pendiente ordenada (es decir de la forma \( y=m \cdot x+b \) ) los espacios correspondientes: recta tangente: recta normal:

Para encontrar la pendiente de la recta tangente, primero derivamos implícitamente la ecuación \( 4 \cdot x^{2} + x - y^{2} + y - 3 = 0 \). Al derivar, obtenemos: \[ 8x + 1 - 2y\frac{dy}{dx} + \frac{dy}{dx} = 0 \] Simplificando, tenemos: \[ \frac{dy}{dx}(1 - 2y) = -8x - 1 \] Despejando \(\frac{dy}{dx}\): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-8x - 1}{1 - 2y} \] Ahora, evaluamos en el punto \((-1, 1)\): \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(-1,1)} = \frac{-8(-1) - 1}{1 - 2(1)} = \frac{8 - 1}{1 - 2} = \frac{7}{-1} = -7 \] Ahora podemos escribir la recta tangente y la recta normal. Para la recta tangente usamos la forma \( y - y_0 = m(x - x_0) \), entonces: 1. Para la recta tangente: \( y - 1 = -7(x + 1) \) Desarrollando esto, obtenemos: \( y = -7x - 7 + 1 \) \( y = -7x - 6 \) 2. Para la recta normal, dado que es perpendicular, su pendiente será \( \frac{1}{7} \): \( y - 1 = \frac{1}{7}(x + 1) \) Desarrollando esto, se obtiene: \( y = \frac{1}{7}x + \frac{1}{7} + 1 \) \( y = \frac{1}{7}x + \frac{8}{7} \) Por lo tanto, completamos los espacios: \(\frac{dy}{dx} = \frac{-8x - 1}{1 - 2y}\) \(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(-1,1)} = -7\) Recta tangente: \(y = -7x - 6\) Recta normal: \(y = \frac{1}{7}x + \frac{8}{7}\)