Ejemplo $$ \begin{array}{l} ext { Aplicar el método de Newton-Raphson para aproximar la solución de } \ ext { la ecuación } x e^{x}-2=0 ext { con una tolerancia en }\left|f\left(p_{i} ight) ight| ext { menor a } 10^{-6} ext {. }\end{array} $$

Question

Ejemplo $$ \begin{array}{l}	ext { Aplicar el método de Newton-Raphson para aproximar la solución de } \ 	ext { la ecuación } x e^{x}-2=0 	ext { con una tolerancia en }\left|f\left(p_{i}ight)ight| 	ext { menor a } 10^{-6} 	ext {. }\end{array} $$

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1. Sea la función  
   $$
   f(x)=x e^{x}-2
   $$  
   y su derivada  
   $$
   f'(x)=e^{x}(x+1).
   $$

2. La fórmula de iteración del método de Newton-Raphson es  
   $$
   p_{n+1}= p_n-\frac{f(p_n)}{f'(p_n)}.
   $$

3. Seleccionamos un valor inicial, por ejemplo,  
   $$
   p_0=1.
   $$

4. \textbf{Primera iteración:}  
   Evaluamos en $$ p_0=1 $$:
   $$
   f(1)=1\cdot e^{1}-2\approx2.71828-2=0.71828,
   $$
   $$
   f'(1)=e^{1}(1+1)=2e\approx5.43656.
   $$
   Entonces,
   $$
   p_{1}=1-\frac{0.71828}{5.43656}\approx1-0.1323\approx0.86770.
   $$

5. \textbf{Segunda iteración:}  
   Con $$ p_1\approx0.86770 $$ calculamos:
   $$
   f(0.86770)=0.86770\cdot e^{0.86770}-2.
   $$
   Aproximando $$ e^{0.86770}\approx2.382 $$, se tiene:
   $$
   f(0.86770)\approx 0.86770\cdot2.382-2\approx2.067-2=0.067.
   $$
   La derivada es:
   $$
   f'(0.86770)=e^{0.86770}(0.86770+1)\approx2.382\cdot1.86770\approx4.446.
   $$
   Así,
   $$
   p_{2}=0.86770-\frac{0.067}{4.446}\approx0.86770-0.01506\approx0.85264.
   $$

6. \textbf{Tercera iteración:}  
   Con $$ p_2\approx0.85264 $$:
   $$
   f(0.85264)=0.85264\cdot e^{0.85264}-2.
   $$
   Usando $$ e^{0.85264}\approx2.34576 $$, se obtiene:
   $$
   f(0.85264)\approx0.85264\cdot2.34576-2\approx2.00000-2\approx0.00000.
   $$
   Dado que $$|f(0.85264)|<10^{-6}$$, se cumple la condición de tolerancia.

La aproximación de la solución es  
$$
p\approx0.85264.
$$
La solución aproximada es $$ x \approx 0.85264 $$.

Ejemplo \( \begin{array}{l}\text { Aplicar el método de Newton-Raphson para aproximar la solución de } \\ \text { la ecuación } x e^{x}-2=0 \text { con una tolerancia en }\left|f\left(p_{i}\right)\right| \text { menor a } 10^{-6} \text {. }\end{array} \)

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