Dada la función \( f(x, y)=3 x^{2}+2 x y+4 v^{2} \), ¿cuál es el tipo de punto crítico en \( (0,0) \) ?

1. **Encontrar el punto crítico** Se tiene la función \[ f(x,y)=3x^2+2xy+4y^2. \] Calculamos las derivadas parciales: \[ f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=6x+2y, \quad f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=2x+8y. \] El punto crítico satisface \[ f_x(x,y)=0 \quad \text{y} \quad f_y(x,y)=0. \] Evaluando en \((0,0)\): \[ f_x(0,0)=6(0)+2(0)=0, \quad f_y(0,0)=2(0)+8(0)=0. \] Por lo tanto, \((0,0)\) es un punto crítico. 2. **Estudiar la naturaleza del punto crítico** Se calcula el Hessiano, es decir, la matriz de las segundas derivadas parciales. Las segundas derivadas parciales son: \[ f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=6, \quad f_{yy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=8, \] \[ f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=2, \quad f_{yx}(x,y)=2. \] Así, la matriz Hessiana es \[ H_f(x,y)=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}. \] 3. **Criterio de la matriz Hessiana** Se evalúan los menores principales: - Primer menor principal: \[ m_1=6. \] Como \( m_1>0 \), se cumple. - Determinante del Hessiano: \[ m_2=\det(H_f)=6\cdot8-2^2=48-4=44. \] Como \( m_2>0 \), su segundo menor también es positivo. Dado que todos los menores principales son positivos, la matriz Hessiana es definida positiva. 4. **Conclusión** Al ser la matriz Hessiana definida positiva en el punto \((0,0)\), se concluye que el punto crítico es un **mínimo local estricto**.