Considere una fuerza de interés \( \delta_{t}=\frac{2}{2 t+k} \). Se tiene la siguiente información: - Un depósito de 75 euros a tiempo cero acumulará \( X \) euros al final de tres años. - El valor presente a tiempo tres, de un flujo de 150 euros a tiempo 5 es igual a \( X \) euros. Determine el valor de \( X \).

Para resolver el problema, primero necesitamos calcular el valor \( X \) que se acumula de un depósito de 75 euros a los 3 años utilizando la fuerza de interés \( \delta_{t}=\frac{2}{2t+k} \). ### Paso 1: Calcular el valor de \( X \) La acumulación de un capital bajo una fuerza de interés se hace a través de la siguiente relación: \[ A(t) = A(0) \cdot e^{\int_0^t \delta_s \, ds} \] Donde \( A(0) \) es el capital inicial y \( A(t) \) es el capital acumulado al tiempo \( t \). Ahora calculamos \( \int_0^3 \delta_s \, ds \): \[ \delta_{s} = \frac{2}{2s + k} \] Entonces, \[ \int_0^3 \delta_s \, ds = \int_0^3 \frac{2}{2s + k} \, ds \] Usamos el cambio de variable \( u = 2s + k \rightarrow du = 2 \, ds \Rightarrow ds = \frac{du}{2} \), y los límites se transforman de \( s=0 \) a \( s=3 \): - Para \( s=0 \): \( u = k \) - Para \( s=3 \): \( u = 6 + k \) Ahora, la integral se transforma a: \[ \int_k^{6+k} \frac{2}{u} \cdot \frac{du}{2} = \int_k^{6+k} \frac{1}{u} \, du = \ln |u| \bigg|_k^{6+k} \] Resultando en: \[ \ln(6 + k) - \ln(k) = \ln\left(\frac{6+k}{k}\right) \] Por lo tanto, la acumulación queda así: \[ X = 75 \cdot e^{\ln\left(\frac{6+k}{k}\right)} = 75 \cdot \frac{6+k}{k} \] ### Paso 2: Valor presente del flujo de 150 euros El flujo de 150 euros a tiempo 5, trasladado a tiempo 3 es: \[ VP = 150 \cdot e^{-\int_3^5 \delta_t \, dt} \] Calculando \( \int_3^5 \delta_t \, dt \): \[ \int_3^5 \delta_t \, dt = \int_3^5 \frac{2}{2t+k} \, dt \] Usando el mismo método de cambio de variable: - Para \( t=3 \): \( u = 6 + k \) - Para \( t=5 \): \( u = 10 + k \) La integral se escribe como: \[ \int_{6+k}^{10+k} \frac{2}{u} \cdot \frac{du}{2} = \int_{6+k}^{10+k} \frac{1}{u} \, du = \ln |u| \bigg|_{6+k}^{10+k} \] Esto da como resultado: \[ \ln(10 + k) - \ln(6 + k) = \ln\left(\frac{10+k}{6+k}\right) \] Por lo tanto, el valor presente se calcula como: \[ VP = 150 \cdot e^{-\ln\left(\frac{10+k}{6+k}\right)} = 150 \cdot \frac{6 + k}{10 + k} \] ### Paso 3: Igualar y resolver para \( X \) Sabemos que este VP es igual a \( X \): \[ X = 150 \cdot \frac{6 + k}{10 + k} \] Igualando ambos valores de \( X \): \[ 75 \cdot \frac{6 + k}{k} = 150 \cdot \frac{6 + k}{10 + k} \] Cancelamos \( 6 + k \) (asumiendo que no es cero) y multiplicamos por \( k(10+k) \): \[ 75(10 + k) = 150k \implies 750 + 75k = 150k \implies 750 = 150k - 75k \implies 750 = 75k \implies k = 10 \] ### Paso 4: Calcular \( X \) Ahora tenemos \( k = 10 \). Sustituyendo en la expresión de \(