2isolvi i seguenti problemi. Un prisma quadrangolare retto ha per base un rombo avente l'area di \( 384 \mathrm{dm}^{2} \) e una diagonale lunga 32 dm . Sapendo che l'altezza del prisma mi- sura 48 dm , calcola l'area laterale. [ \( \left.3840 \mathrm{dm}^{2}\right] \)

Per calcolare l'area laterale di un prisma quadrangolare retto, puoi utilizzare la formula dell'area laterale: \( A_{laterale} = P_{base} \times h \), dove \( P_{base} \) è il perimetro della base e \( h \) è l'altezza del prisma. Per prima cosa, dobbiamo trovare il perimetro della base. Il rombo, avendo un’area di \( 384 \mathrm{dm}^{2} \) e una diagonale lunga \( 32 \mathrm{dm} \), può essere scomposto in due triangoli. La formula per l'area di un rombo è \( \frac{d_1 \times d_2}{2} \). Con \( d_1 = 32 \mathrm{dm} \) e area 384, possiamo trovare \( d_2 \): \[ 384 = \frac{32 \times d_2}{2} \Rightarrow d_2 = \frac{384 \times 2}{32} = 24 \mathrm{dm} \] Ora possiamo calcolare il lato del rombo usando le diagonali. Utilizzando il teorema di Pitagora: la lunghezza di un lato \( l \) del rombo può essere calcolata come: \[ l = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{32}{2}\right)^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \mathrm{dm} \] Il perimetro \( P \) del rombo è quindi: \[ P_{base} = 4 \times l = 4 \times 20 = 80 \mathrm{dm} \] Ora possiamo calcolare l'area laterale: \[ A_{laterale} = P_{base} \times h = 80 \mathrm{dm} \times 48 \mathrm{dm} = 3840 \mathrm{dm}^{2} \] Pertanto, l'area laterale del prisma è \( 3840 \mathrm{dm}^{2} \).