2. Hallar y clasificar las discontinuidades de la función: $$ f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3 x} $$

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Para hallar y clasificar las discontinuidades de la función

$$
f(x) = \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3x}
$$

seguiremos los siguientes pasos:

1. **Identificar el denominador**: La función es una fracción, por lo que debemos identificar cuándo el denominador se anula, ya que esto nos dará las discontinuidades.

2. **Resolver la ecuación del denominador**: 
   $$
   x^{2} - 3x = 0
   $$
   Factorizamos el denominador:
   $$
   x(x - 3) = 0
   $$
   Esto nos da las soluciones:
   $$
   x = 0 \quad \text{y} \quad x = 3
   $$

3. **Clasificar las discontinuidades**: Ahora debemos clasificar las discontinuidades en $$x = 0$$ y $$x = 3$$.

- **Discontinuidad en $$x = 0$$**: 
     Para clasificar esta discontinuidad, evaluamos el límite de $$f(x)$$ cuando $$x$$ se aproxima a 0:
     $$
     \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3x}
     $$
     El numerador $$\operatorname{sen}(x-3)$$ es continuo y no se anula en $$x = 0$$, mientras que el denominador se anula. Por lo tanto, hay una discontinuidad de tipo **infinita** en $$x = 0$$.

- **Discontinuidad en $$x = 3$$**: 
     Evaluamos el límite de $$f(x)$$ cuando $$x$$ se aproxima a 3:
     $$
     \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3x}
     $$
     En este caso, el numerador $$\operatorname{sen}(x-3)$$ se anula (ya que $$\operatorname{sen}(0) = 0$$), y el denominador también se anula (ya que $$3^{2} - 3 \cdot 3 = 0$$). Esto indica que tenemos una forma indeterminada $$ \frac{0}{0} $$.

Para resolver esta indeterminación, aplicamos la regla de L'Hôpital:
     $$
     \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{(x^{2}-3x)'}
     $$
     Derivamos el numerador y el denominador:
     - Derivada del numerador: $$\operatorname{cos}(x-3)$$
     - Derivada del denominador: $$2x - 3$$

Entonces, evaluamos el límite:
     $$
     \lim_{x \to 3} \frac{\operatorname{cos}(x-3)}{2x - 3} = \frac{\operatorname{cos}(0)}{2(3) - 3} = \frac{1}{3}
     $$
     Esto indica que la discontinuidad en $$x = 3$$ es de tipo **removible**.

4. **Conclusión**: 
   - La función $$f(x)$$ tiene una discontinuidad infinita en $$x = 0$$.
   - La función $$f(x)$$ tiene una discontinuidad removible en $$x = 3$$.

Por lo tanto, las discontinuidades de la función son:
- $$x = 0$$ (discontinuidad infinita)
- $$x = 3$$ (discontinuidad removible)
La función $$ f(x) = \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3x} $$ tiene dos discontinuidades: 1. **Discontinuidad infinita en $$x = 0$$**: La función no está definida en este punto y no se puede eliminar. 2. **Discontinuidad removible en $$x = 3$$**: Puede ser eliminada al simplificar la función. En resumen, la función tiene una discontinuidad infinita en $$x = 0$$ y una discontinuidad removible en $$x = 3$$.

2. Hallar y clasificar las discontinuidades de la función: \[ f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3 x} \]

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