2. Hallar y clasificar las discontinuidades de la función: \[ f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3 x} \]

Para hallar y clasificar las discontinuidades de la función \[ f(x) = \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3x} \] seguiremos los siguientes pasos: 1. **Identificar el denominador**: La función es una fracción, por lo que debemos identificar cuándo el denominador se anula, ya que esto nos dará las discontinuidades. 2. **Resolver la ecuación del denominador**: \[ x^{2} - 3x = 0 \] Factorizamos el denominador: \[ x(x - 3) = 0 \] Esto nos da las soluciones: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = 3 \] 3. **Clasificar las discontinuidades**: Ahora debemos clasificar las discontinuidades en \(x = 0\) y \(x = 3\). - **Discontinuidad en \(x = 0\)**: Para clasificar esta discontinuidad, evaluamos el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a 0: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3x} \] El numerador \(\operatorname{sen}(x-3)\) es continuo y no se anula en \(x = 0\), mientras que el denominador se anula. Por lo tanto, hay una discontinuidad de tipo **infinita** en \(x = 0\). - **Discontinuidad en \(x = 3\)**: Evaluamos el límite de \(f(x)\) cuando \(x\) se aproxima a 3: \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{x^{2}-3x} \] En este caso, el numerador \(\operatorname{sen}(x-3)\) se anula (ya que \(\operatorname{sen}(0) = 0\)), y el denominador también se anula (ya que \(3^{2} - 3 \cdot 3 = 0\)). Esto indica que tenemos una forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Para resolver esta indeterminación, aplicamos la regla de L'Hôpital: \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{\operatorname{sen}(x-3)}{(x^{2}-3x)'} \] Derivamos el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: \(\operatorname{cos}(x-3)\) - Derivada del denominador: \(2x - 3\) Entonces, evaluamos el límite: \[ \lim_{x \to 3} \frac{\operatorname{cos}(x-3)}{2x - 3} = \frac{\operatorname{cos}(0)}{2(3) - 3} = \frac{1}{3} \] Esto indica que la discontinuidad en \(x = 3\) es de tipo **removible**. 4. **Conclusión**: - La función \(f(x)\) tiene una discontinuidad infinita en \(x = 0\). - La función \(f(x)\) tiene una discontinuidad removible en \(x = 3\). Por lo tanto, las discontinuidades de la función son: - \(x = 0\) (discontinuidad infinita) - \(x = 3\) (discontinuidad removible)