a. Escribe las coordenadas de los vértices. \begin{tabular}{|l}$$ A(-2,6) $$ \ $$ B(3,1) $$ \ $$ C(4,4) $$ \ $$ B(-4,2) $$\end{tabular} b. Calcula la medida de los lados. c. Calcula la medida de la diagonal $$ D C $$. d. Calcula el área del $$ riangle O B C $$.

Question

a. Escribe las coordenadas de los vértices. \begin{tabular}{|l}$$ A(-2,6) $$ \ $$ B(3,1) $$ \ $$ C(4,4) $$ \ $$ B(-4,2) $$\end{tabular} b. Calcula la medida de los lados. c. Calcula la medida de la diagonal $$ D C $$. d. Calcula el área del $$ 	riangle O B C $$.

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Para resolver el problema, vamos a seguir los pasos solicitados:

### a. Escribe las coordenadas de los vértices.

Los vértices dados son:
- $$ A(-2, 6) $$
- $$ B(3, 1) $$
- $$ C(4, 4) $$
- $$ D(-4, 2) $$

### b. Calcula la medida de los lados.

Para calcular la medida de los lados, utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos $$ (x_1, y_1) $$ y $$ (x_2, y_2) $$:

$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$

Calculamos las distancias entre los vértices:

1. **Lado $$ AB $$**:
   $$
   d_{AB} = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (1 - 6)^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + (1 - 6)^2} = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
   $$

2. **Lado $$ AC $$**:
   $$
   d_{AC} = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{(4 + 2)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
   $$

3. **Lado $$ AD $$**:
   $$
   d_{AD} = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(-4 + 2)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
   $$

4. **Lado $$ BC $$**:
   $$
   d_{BC} = \sqrt{(4 - 3)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
   $$

5. **Lado $$ BD $$**:
   $$
   d_{BD} = \sqrt{(-4 - 3)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
   $$

6. **Lado $$ CD $$**:
   $$
   d_{CD} = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}
   $$

### c. Calcula la medida de la diagonal $$ DC $$.

La diagonal $$ DC $$ ya fue calculada en el paso anterior como:

$$
d_{DC} = 2\sqrt{17}
$$

### d. Calcula el área del $$ \triangle OBC $$.

Para calcular el área del triángulo $$ OBC $$ donde $$ O(0, 0) $$, $$ B(3, 1) $$ y $$ C(4, 4) $$, utilizamos la fórmula del área de un triángulo dada por sus vértices:

$$
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
$$

Sustituyendo los valores:

$$
\text{Área} = \frac{1}{2} \left| 0(1 - 4) + 3(4 - 0) + 4(0 - 1) \right|
$$
$$
= \frac{1}{2} \left| 0 + 12 - 4 \right| = \frac{1}{2} \left| 8 \right| = 4
$$

### Resumen de resultados:
- **Coordenadas de los vértices**: $$ A(-2, 6), B(3, 1), C(4, 4), D(-4, 2) $$
- **Medidas de los lados**:
  - $$ AB = 5\sqrt{2} $$
  - $$ AC = 2\sqrt{10} $$
  - $$ AD = 2\sqrt{5} $$
  - $$ BC = \sqrt{10} $$
  - $$ BD = 5\sqrt{2} $$
  - $$ CD = 2\sqrt{17} $$
- **Medida de la diagonal $$ DC $$**: $$ 2\sqrt{17} $$
- **Área del $$ \triangle OBC $$**: $$ 4 $$
a. Vértices: $$ A(-2,6) $$, $$ B(3,1) $$, $$ C(4,4) $$, $$ D(-4,2) $$ b. Lados: - $$ AB = 5\sqrt{2} $$ - $$ AC = 2\sqrt{10} $$ - $$ AD = 2\sqrt{5} $$ - $$ BC = \sqrt{10} $$ - $$ BD = 5\sqrt{2} $$ - $$ CD = 2\sqrt{17} $$ c. Diagonal $$ DC = 2\sqrt{17} $$ d. Área $$ \triangle OBC = 4 $$

a. Escribe las coordenadas de los vértices. \begin{tabular}{|l}\( A(-2,6) \) \\ \( B(3,1) \) \\ \( C(4,4) \) \\ \( B(-4,2) \)\end{tabular} b. Calcula la medida de los lados. c. Calcula la medida de la diagonal \( D C \). d. Calcula el área del \( \triangle O B C \).

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