\( x ^ { 2 } y ^ { \prime } = x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 2 \quad ; y _ { 0 } = \frac { 1 } { x } \)

Pour résoudre l'équation différentielle donnée : \[ x^2 y' = x^2 y^2 - 2 \] avec la condition initiale \( y(0) = \frac{1}{x} \), nous allons d'abord réécrire l'équation sous une forme plus standard. 1. **Réarrangement de l'équation** : Nous pouvons diviser les deux côtés par \( x^2 \) (en supposant \( x \neq 0 \)) : \[ y' = y^2 - \frac{2}{x^2} \] 2. **Séparation des variables** : Nous allons séparer les variables \( y \) et \( x \) : \[ \frac{dy}{y^2 - \frac{2}{x^2}} = dx \] 3. **Intégration** : Nous devons intégrer les deux côtés. L'intégration du côté gauche peut nécessiter une décomposition en fractions partielles ou une substitution appropriée. 4. **Condition initiale** : Une fois que nous avons trouvé la solution générale, nous appliquerons la condition initiale pour déterminer la constante d'intégration. Cependant, il est important de noter que la condition initiale donnée \( y(0) = \frac{1}{x} \) n'est pas définie pour \( x = 0 \). Il semble y avoir une confusion dans la condition initiale, car \( y(0) \) ne peut pas être déterminé de cette manière. Pour une condition initiale valide, nous devrions avoir une valeur de \( y \) à un point \( x \) différent de zéro. Pour continuer, pourriez-vous clarifier la condition initiale ou fournir un autre point de départ ?