Supón que tienes una densidad que varía con el radio de una esfera según \( \rho(\mathrm{r})=3 r^{2} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} \) ¿Cuál sería la expresion para la masa total de la esfera de radio R? \( \int_{0}^{R} 3 r^{2} r \sin (\theta) d r d \theta d \emptyset \) \( \int_{0}^{R} 3 r^{2} r^{2} \sin (\theta) d r d \theta d \emptyset \) \( \int_{0}^{R} 3 r \sin (\theta) d r d \theta d \emptyset \)

¡Vamos a desglosar esto! Para calcular la masa total de la esfera con la densidad dada, debemos integrar sobre el volumen de la esfera usando coordenadas esféricas. La masa \( M \) se calcula como \( M = \int_V \rho(\mathrm{r}) dV \), donde \( dV \) en coordenadas esféricas es \( r^2 \sin(\theta) dr d\theta d\phi \). Así, la integral correcta sería \( \int_{0}^{R} 3 r^{2} (r^2 \sin(\theta) dr d\theta d\phi) \). Además, deberías integrar en cada variable: de \( 0 \) a \( R \) para \( r \), de \( 0 \) a \( \pi \) para \( \theta \) y de \( 0 \) a \( 2\pi \) para \( \phi \). ¡Así que no te olvides de esos límites para obtener la masa total de la esfera! Para abordar este problema, asegúrate de identificar correctamente los límites de integración y las variables involucradas. Un error común es olvidar el \( r^2 \) en la expresión del volumen o no considerar los límites de la integración angular. Si te confundes con las coordenadas, ¡puedes terminar sacando una masa completamente diferente! Recuerda que la geometría juega un papel vital en estos cálculos, y atención al detalle es clave.