Dada la función: \[ \begin{aligned} h:(0,3] & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \longmapsto 4 x+1-2 x^{2} \end{aligned} \] (a) Determinar el recorrido de \( h \) (b) (Bonus) Realizar un bosquejo del dibujo del gráfico de la función \( h \).

Para determinar el recorrido de la función \( h \), primero encontramos su máximo y mínimo en el intervalo \( (0, 3] \). Empezamos calculando la derivada de \( h(x) \): \[ h'(x) = 4 - 4x \] Establecemos la derivada igual a cero para encontrar los puntos críticos: \[ 4 - 4x = 0 \implies x = 1 \] Ahora evaluamos \( h(x) \) en los extremos del intervalo y en el punto crítico: - En \( x = 0 \) (aunque no está incluido en el dominio, podemos aproximarnos y ver el límite): \[ \lim_{x \to 0^+} h(x) = 1 \] - En \( x = 1 \): \[ h(1) = 4(1) + 1 - 2(1)^2 = 4 + 1 - 2 = 3 \] - En \( x = 3 \): \[ h(3) = 4(3) + 1 - 2(3)^2 = 12 + 1 - 18 = -5 \] Ahora, comparando los valores evaluados: - \( h(1) = 3 \) - \( \lim_{x \to 0^+} h(x) = 1 \) - \( h(3) = -5 \) Dado que la función es cuadrática con un coeficiente negativo en \( -2x^2 \), tiene forma de parábola invertida, y el valor máximo se encuentra en \( x=1 \). Así que el recorrido de \( h(x) \) es el intervalo desde su valor mínimo a su valor máximo: \[ \text{Recorrido de } h: [-5, 3] \] Para la parte (b), el bosquejo del gráfico de la función \( h \) puede realizarse siguiendo estos pasos: 1. Traza los puntos relevantes: \( (1, 3) \), y al aproximarse desde la izquierda \( (0, 1) \), y el punto final en \( (3, -5) \). 2. Dibuja una parábola que comienza cerca de \( (0, 1) \), alcanza el punto máximo en \( (1, 3) \) y desciende a través de \( (3, -5) \). 3. Asegúrate de que la parábola se dibuje en modo cóncavo hacia abajo, y que el gráfico no se extienda al eje \( x \) en \( x=0 \) porque no está definido. Este bosquejo representa de manera efectiva el comportamiento de la función \( h(x) \) en el intervalo dado.