Caicula el área entre las funciones \( f(x)=x^{2}-3 x+5 \) y \( g(x)=3-x \) en el intervalo \( [0,3] \)

Para calcular el área entre las funciones \( f(x)=x^{2}-3x+5 \) y \( g(x)=3-x \) en el intervalo \([0,3]\), primero necesitamos encontrar los puntos de intersección de las dos funciones en el intervalo dado. Luego, calcularemos el área entre las dos funciones en el intervalo \([0,3]\) utilizando la fórmula del área bajo la curva. 1. Encontrar los puntos de intersección: Para encontrar los puntos de intersección, igualamos las dos funciones y resolvemos la ecuación resultante: \[ x^{2}-3x+5 = 3-x \] 2. Calcular el área entre las funciones en el intervalo \([0,3]\): Una vez encontrados los puntos de intersección, calcularemos el área entre las dos funciones en el intervalo \([0,3]\) utilizando la fórmula del área bajo la curva: \[ \text{Área} = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx \] Donde \( a = 0 \) y \( b = 3 \). Vamos a resolver la ecuación para encontrar los puntos de intersección y luego calcular el área entre las dos funciones en el intervalo \([0,3]\). Solve the equation(The complex numbers system) by following steps: - step0: Solve using the quadratic formula in the complex numbers system: \(x^{2}-3x+5=3-x\) - step1: Move the expression to the left side: \(x^{2}-2x+2=0\) - step2: Solve using the quadratic formula: \(x=\frac{2\pm \sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2}}{2}\) - step3: Simplify the expression: \(x=\frac{2\pm \sqrt{-4}}{2}\) - step4: Simplify the expression: \(x=\frac{2\pm 2i}{2}\) - step5: Separate into possible cases: \(\begin{align}&x=\frac{2+2i}{2}\\&x=\frac{2-2i}{2}\end{align}\) - step6: Simplify the expression: \(\begin{align}&x=1+i\\&x=\frac{2-2i}{2}\end{align}\) - step7: Simplify the expression: \(\begin{align}&x=1+i\\&x=1-i\end{align}\) - step8: Rewrite: \(x_{1}=1-i,x_{2}=1+i\) - step9: Remove the complex number(s): \(\textrm{No real solution}\) La ecuación \( x^{2}-3x+5 = 3-x \) no tiene solución real en el intervalo \([0,3]\). Esto significa que las dos funciones no se intersectan en el intervalo dado. Dado que las dos funciones no se intersectan en el intervalo \([0,3]\), el área entre las dos funciones en este intervalo es cero. Por lo tanto, el área entre las funciones \( f(x)=x^{2}-3x+5 \) y \( g(x)=3-x \) en el intervalo \([0,3]\) es cero.