Encuentre el dominio de cada una de las funciones siguientes: (a) $$ f(x)=\frac{x+4}{x^{2}-9} $$. (b) $$ f(x)=\frac{2 x^{3}-5}{x^{2}+x-6} $$. Sugerencia: Consulte [SRW15, Sección 3.7, Pág. 277]

Question

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1. Para la función 
$$
f(x) = \frac{x+4}{x^{2}-9}
$$
debemos encontrar los valores de $$ x $$ que hacen que el denominador sea cero, ya que no están permitidos en el dominio. Resolvemos:
$$
x^{2} - 9 = 0
$$
Factorizando:
$$
(x-3)(x+3) = 0
$$
Igualando cada factor a cero:
$$
x-3=0 \quad \Rightarrow \quad x=3
$$
$$
x+3=0 \quad \Rightarrow \quad x=-3
$$
Por lo tanto, el denominador se anula cuando $$ x=3 $$ o $$ x=-3 $$. Así, el dominio de $$ f $$ es:
$$
\{ x \in \mathbb{R} : x \neq -3,\, 3 \}
$$

2. Para la función
$$
f(x) = \frac{2 x^{3} - 5}{x^{2}+x-6}
$$
identificamos los valores de $$ x $$ que hacen cero el denominador. Primero, resolvemos:
$$
x^{2}+x-6 = 0
$$
Se puede factorizar buscando dos números cuyo producto sea $$-6$$ y cuya suma sea $$1$$. Los números son $$3$$ y $$-2$$ ya que:
$$
3 \times (-2) = -6 \quad \text{y} \quad 3 + (-2) = 1
$$
Así, factorizamos:
$$
x^{2}+x-6 = (x+3)(x-2)
$$
Luego, igualamos cada factor a cero:
$$
x+3=0 \quad \Rightarrow \quad x=-3
$$
$$
x-2=0 \quad \Rightarrow \quad x=2
$$
Por lo que el dominio de $$ f $$ es:
$$
\{ x \in \mathbb{R} : x \neq -3,\, 2 \}
$$
El dominio de la función $$ f(x) = \frac{x+4}{x^{2}-9} $$ es todos los números reales excepto $$ x = -3 $$ y $$ x = 3 $$. El dominio de la función $$ f(x) = \frac{2x^{3}-5}{x^{2}+x-6} $$ es todos los números reales excepto $$ x = -3 $$ y $$ x = 2 $$.

Encuentre el dominio de cada una de las funciones siguientes: (a) \( f(x)=\frac{x+4}{x^{2}-9} \). (b) \( f(x)=\frac{2 x^{3}-5}{x^{2}+x-6} \). Sugerencia: Consulte [SRW15, Sección 3.7, Pág. 277]

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