Dada la función \( f(x)=2 \cdot x+\frac{3}{x} \) Determina lo que se te pide, escribe lo que se te pide entre llaves, otra que cierra), o bien utiliza la notación de intervalos abiertos oc Respuesta: \( x \) de Puntos criticos = \( \qquad \) x de Máximos relativos = \( \square \) \( x \) de Mínimos relativos \( = \) \( \square \) Intervalos de crecimiento \( = \) \( \qquad \) Intervalos de decrecimiento \( = \) \( \qquad \) \( x \) de puntos de inflexion \( = \) \( \qquad \) Intervalos de concavidad positiva \( = \) \( \qquad \) Intervalos de concavidad ne gativa \( = \) \( \square \)

\( f(x)=2x+\frac{3}{x} \) 1. Calcul de la dérivée première : \[ f'(x)=\frac{d}{dx}\left(2x+\frac{3}{x}\right)=2-\frac{3}{x^2} \] Les points critiques se trouvent en résolvant : \[ f'(x)=0 \quad \Rightarrow \quad 2-\frac{3}{x^2}=0 \quad \Rightarrow \quad 2=\frac{3}{x^2} \quad \Rightarrow \quad x^2=\frac{3}{2} \] Donc, \[ x=\pm\sqrt{\frac{3}{2}} \] 2. Classification des points critiques : Utilisons la dérivée seconde pour classer ces points. Calcul de la dérivée seconde : \[ f''(x)=\frac{d}{dx}\left(2-\frac{3}{x^2}\right)=\frac{6}{x^3} \] - Pour \( x=\sqrt{\frac{3}{2}}>0 \) : \[ f''\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=\frac{6}{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^3}>0, \] ce qui indique un minimum relatif. - Pour \( x=-\sqrt{\frac{3}{2}}<0 \) : \[ f''\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)=\frac{6}{\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^3}<0, \] ce qui indique un maximum relatif. 3. Intervalles de croissance et décroissance : On a \( f'(x)=2-\frac{3}{x^2} \). - \( f'(x)>0 \) lorsque : \[ 2-\frac{3}{x^2}>0 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{x^2}<2 \quad \Rightarrow \quad x^2>\frac{3}{2}. \] Ainsi, la fonction est croissante pour : \[ x\in(-\infty,-\sqrt{\frac{3}{2}}) \quad \text{et} \quad x\in(\sqrt{\frac{3}{2}},\infty). \] - \( f'(x)<0 \) lorsque \( x^2<\frac{3}{2} \). La fonction est décroissante pour : \[ x\in(-\sqrt{\frac{3}{2}},0) \quad \text{et} \quad x\in(0,\sqrt{\frac{3}{2}}). \] Remarque : la fonction n'est pas définie en \( x=0 \). 4. Points d'inflexion et concavité : Nous avons la dérivée seconde \( f''(x)=\frac{6}{x^3} \). - Pour \( x>0 \) : \( f''(x)>0 \) \(\Rightarrow\) concavité positive. - Pour \( x<0 \) : \( f''(x)<0 \) \(\Rightarrow\) concavité négative. Pour déterminer un point d'inflexion, il faut que la concavité change et que la fonction soit définie au point considéré. En \( x=0 \), la fonction n'est pas définie. Il n'existe donc aucun point d'inflexion. Synthèse de la solution : \( x \) des points critiques \( =\{ -\sqrt{\frac{3}{2}},\; \sqrt{\frac{3}{2}} \} \) \( x \) des maximums relatifs \( =\{-\sqrt{\frac{3}{2}}\} \) \( x \) des minimums relatifs \( =\{\sqrt{\frac{3}{2}}\} \) Intervalles de croissance \( =(-\infty,-\sqrt{\frac{3}{2}})\cup (\sqrt{\frac{3}{2}},\infty) \) Intervalles de décroissance \( =(-\sqrt{\frac{3}{2}},0)\cup (0,\sqrt{\frac{3}{2}}) \) \( x \) des points d'inflexion \( =\varnothing \) Intervalles de concavité positive \( =(0,\infty) \) Intervalles de concavité négative \( =(-\infty,0) \)