\[ \text { Trova l'ellisse corrispondente all'ellisse di equazione } \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1 \text { nella traslazione che fa corrispondere al } \] fuoco di ordinata negativa il punto \( F^{\prime}(2 ; 0) \) \( \left[25 x^{2}+9 y^{2}-100 x-72 y+19=0\right] \)

Per trovare l'ellisse traslata, iniziamo considerando le caratteristiche dell'ellisse originale, che ha i fuochi in \( F(0, \pm 4) \). La traslazione ci porta a spostare il fuoco di ordinata negativa \( F(0, -4) \) al punto \( F'(2,0) \). Dobbiamo calcolare il vettore di traslazione, che è \( \Delta x = 2 - 0 = 2 \) e \( \Delta y = 0 - (-4) = 4 \). Dopo aver applicato la traslazione, la nuova equazione dell'ellisse diventa \( \frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{(y-4)^{2}}{25}=1 \). Semplificando, otteniamo \( 25(x-2)^{2} + 9(y-4)^{2} = 225 \). Ora espandiamo e portiamo l'equazione a forma standard: \( 25(x^{2} - 4x + 4) + 9(y^{2} - 8y + 16) = 225 \). Semplificando ulteriormente ottenendo \( 25x^{2} + 9y^{2} - 100x - 72y + 19 = 0 \), che conferma la correttezza della trasformazione. Iniziare qui ha reso il processo davvero entusiasmante, giusto? 😄