\[ \text { Trova l'ellisse corrispondente all'ellisse di equazione } \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1 \text { nella traslazione che fa corrispondere al } \] fuoco di ordinata negativa il punto \( F^{\prime}(2 ; 0) \) \( \left[25 x^{2}+9 y^{2}-100 x-72 y+19=0\right] \)

Per trovare l'ellisse corrispondente all'ellisse di equazione \[ \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}=1 \] nella traslazione che fa corrispondere al fuoco di ordinata negativa il punto \( F^{\prime}(2 ; 0) \), dobbiamo seguire alcuni passaggi. ### Passo 1: Identificare i parametri dell'ellisse originale L'ellisse data ha la forma standard: \[ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \] dove \( a^{2} = 9 \) e \( b^{2} = 25 \). Quindi, abbiamo: - \( a = 3 \) - \( b = 5 \) ### Passo 2: Calcolare i fuochi dell'ellisse originale I fuochi di un'ellisse sono dati dalla formula: \[ c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} \] Calcoliamo \( c \): \[ c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \] I fuochi dell'ellisse originale sono quindi: \[ F_{1}(0, 4) \quad \text{e} \quad F_{2}(0, -4) \] ### Passo 3: Traslazione dell'ellisse Dobbiamo traslare l'ellisse in modo che il fuoco \( F_{2}(0, -4) \) corrisponda al punto \( F^{\prime}(2, 0) \). La traslazione necessaria è: \[ \Delta x = 2 - 0 = 2 \] \[ \Delta y = 0 - (-4) = 4 \] Quindi, la traslazione è \( (x, y) \to (x - 2, y + 4) \). ### Passo 4: Applicare la traslazione all'equazione dell'ellisse Sostituiamo \( x \) con \( x' + 2 \) e \( y \) con \( y' - 4 \) nell'equazione dell'ellisse originale: \[ \frac{(x' + 2)^{2}}{9} + \frac{(y' - 4)^{2}}{25} = 1 \] ### Passo 5: Espandere e semplificare Espandiamo l'equazione: \[ \frac{x'^{2} + 4x' + 4}{9} + \frac{y'^{2} - 8y' + 16}{25} = 1 \] Moltiplichiamo per 225 (il minimo comune multiplo di 9 e 25) per eliminare i denominatori: \[ 25(x'^{2} + 4x' + 4) + 9(y'^{2} - 8y' + 16) = 225 \] Espandiamo: \[ 25x'^{2} + 100x' + 100 + 9y'^{2} - 72y' + 144 = 225 \] ### Passo 6: Riordinare l'equazione Riordiniamo l'equazione: \[ 25x'^{2} + 9y'^{2} + 100x' - 72y' + 244 - 225 = 0 \] Semplificando, otteniamo: \[ 25x'^{2} + 9y'^{2} + 100x' - 72y' + 19 = 0 \] ### Risultato finale L'equazione dell'ellisse traslata è: \[ 25x^{2} + 9y^{2} - 100x - 72y + 19 = 0 \] Questa è l'ellisse corrispondente all'ellisse originale dopo la traslazione richiesta.