7. Dada \( f(x)=x^{4}+4 x+1 \), responda: a) ¿En qué intervalos \( f \) admite inversa? (b) Encuentre dominio e imagen de \( f y \) de su inversa en cada uno de los intervalos encontrados en a).

Para que una función admita una inversa en un intervalo, debe ser estrictamente monótona (creciente o decreciente). Al analizar la derivada \( f'(x) = 4x^3 + 4 \), notamos que siempre es mayor o igual a 4, lo que significa que \( f(x) \) es estrictamente creciente en todo su dominio, \(\mathbb{R}\). Por ende, la función admite inversa en el intervalo completo \( (-\infty, \infty) \). El dominio de \( f(x) \) es \( \mathbb{R} \) y su imagen, al ser una función polinómica de grado 4, abarca desde un mínimo valor hasta \(\infty\). Para encontrar el mínimo, se puede emplear el método de completar el cuadrado o buscar los extremos locales. En este caso, tras investigar, podemos determinar que el mínimo valor se encuentra en \( f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} \). Por lo tanto, el dominio de la inversa es \( (-\infty, -\frac{1}{4}]\) y la imagen es \( \mathbb{R} \).