1. Placer sur le cerle trigonométrique \( (C) \) les points suivants : \[ D\left(-\frac{\pi}{4}\right) ; E\left(\frac{3 \pi}{4}\right) ; F\left(-\frac{2 \pi}{3}\right) ; G\left(\frac{5 \pi}{6}\right) \] 2. Sur le cercle trigonométrique \( (C) \), colorier l'ensemble des points \( M \) d'abscisse curviligne \( \alpha \) qui vérifie : a) \( \left.\alpha \in]-\pi ;-\frac{2 \pi}{3}\right] \) b) \( \alpha \in\left[-\frac{\pi}{4} ; \frac{3 \pi}{4}\right] \) Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, déterminer si \( x \) et \( y \) sont des mesures d'un même angle orienté : a) \( x=-\frac{7 \pi}{12} \) et \( y=\frac{65 \pi}{12} \) b) \( x=\frac{26 \pi}{3} \) et \( y=-\frac{7 \pi}{3} \) Exercice 3 Sachant que \( (\vec{u} ; \vec{v}) \equiv-\frac{\pi}{9}[2 \pi] \) et \( (\vec{u} ; \vec{w}) \equiv-\frac{\pi}{4}[2 \pi] \) Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants : \( (\overrightarrow{\vec{v}} ; \vec{w}) ;(-\overrightarrow{\vec{u}} ; \vec{v}) ;(-\overrightarrow{\vec{w}} ; \vec{v}) \) Exercice 4 \[ \begin{array}{l} \text { Calculer } \\ A=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{7}\right)+\sin \left(-\frac{\pi}{7}\right) \\ B=\cos \left(\frac{\pi}{9}\right)+\cos \left(\frac{4 \pi}{9}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{9}\right)+\cos \left(\frac{8 \pi}{9}\right) \\ C=\sin (x)+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\sin (x+\pi)+\sin \left(x+\frac{3 \pi}{2}\right) \end{array} \] Exercice 5 Soit \( x \) un réel, simplifier les expressions suivantes : \[ \begin{array}{l} A=-\cos (x)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sin (\pi-x) \\ B=\cos (x)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\cos \left(x+\frac{3 \pi}{2}\right)+\cos (\pi+x) \\ C=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)-\cos (x)+\cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\sin (\pi-x) \\ D=\sin ^{2} x+2 \cos ^{2} x-1 \\ E=\sin ^{2} x-\cos ^{2} x \\ F=(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2} \end{array} \] Exercice 6 Calculer : \[ \begin{array}{l} A=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right) \\ B=\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right) \\ C=\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{4}\right)+\cos \left(\frac{7 \pi}{4}\right)+\cos \left(\frac{9 \pi}{4}\right) \\ D=\tan \left(\frac{\pi}{12}\right)+\tan \left(\frac{5 \pi}{12}\right)+\tan \left(\frac{7 \pi}{12}\right)+\tan \left(\frac{11 \pi}{12}\right) \end{array} \] Exercice 7 1. Justifier les égalités suivantes : \( \cos \left(\frac{\pi}{10}\right)=\sin \left(\frac{2 \pi}{5}\right) \) et \( \cos \left(\frac{\pi}{5}\right)=\sin \left(\frac{3 \pi}{10}\right) \) 2. En déduire que : \[ \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{4 \pi}{10}\right)=2 \] Exercice 8 Calculer les valeurs exactes de : \( \cos \left(\frac{10 \pi}{3}\right) ; \sin \left(\frac{-21 \pi}{4}\right) ; \cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right) ; \sin \left(\frac{-31 \pi}{6}\right) \) et \( \tan \left(\frac{-11 \pi}{3}\right) \) Exercice 9 1. Soit \( \alpha \) un réel de l'intervalle \( ] \frac{\pi}{2} ; \pi[ \) tel que \( \sin \alpha=\frac{2 \sqrt{2}}{5} \). Calculer \( \cos \alpha \) et \( \tan \alpha \) 2. Soit \( \alpha \) un réel de l'intervalle \( ]-\frac{\pi}{2} ; 0 \) [ tel que \( \tan \alpha=-\frac{3}{2} \). Calculer \( \cos \alpha \) et \( \sin \alpha \) Exercice 10 On donne \( \tan \left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}-1 \). Sans utilis trice. 1. Calculer : \( \tan \left(\frac{7 \pi}{8}\right) \) et \( \tan \left(\frac{3 \pi}{8}\right) \) 2. Calculer : \( \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) \) et \( \cos \left(\frac{7 \pi}{8}\right) \) 3. Calculer : \( \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \) et \( \sin \left(\frac{7 \pi}{8}\right) \) Exercice 11 Soit \( x \) un réel tel que : \( x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi \), avec \( k \in \mathbb{Z} \). 1. Montrer que : \( \sin ^{2}(x)=\frac{\tan ^{2}(x)}{1+\tan ^{2}(x)} \) 2. Montrer que : \[ \frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=2\left(1+\tan ^{2} x\right) \] Exercice 12 Soit \( x \) un réel tel que : \( x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi \) et \( x \neq k \pi \), avec \( k \in \mathbb{Z} \). Montrer les égalités suivantes :