1. Placer sur le cerle trigonométrique $$ (C) $$ les points suivants : $$ D\left(-\frac{\pi}{4}\right) ; E\left(\frac{3 \pi}{4}\right) ; F\left(-\frac{2 \pi}{3}\right) ; G\left(\frac{5 \pi}{6}\right) $$ 2. Sur le cercle trigonométrique $$ (C) $$, colorier l'ensemble des points $$ M $$ d'abscisse curviligne $$ \alpha $$ qui vérifie : a) $$ \left.\alpha \in]-\pi ;-\frac{2 \pi}{3}\right] $$ b) $$ \alpha \in\left[-\frac{\pi}{4} ; \frac{3 \pi}{4}\right] $$ Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, déterminer si $$ x $$ et $$ y $$ sont des mesures d'un même angle orienté : a) $$ x=-\frac{7 \pi}{12} $$ et $$ y=\frac{65 \pi}{12} $$ b) $$ x=\frac{26 \pi}{3} $$ et $$ y=-\frac{7 \pi}{3} $$ Exercice 3 Sachant que $$ (\vec{u} ; \vec{v}) \equiv-\frac{\pi}{9}[2 \pi] $$ et $$ (\vec{u} ; \vec{w}) \equiv-\frac{\pi}{4}[2 \pi] $$ Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants : $$ (\overrightarrow{\vec{v}} ; \vec{w}) ;(-\overrightarrow{\vec{u}} ; \vec{v}) ;(-\overrightarrow{\vec{w}} ; \vec{v}) $$ Exercice 4 $$ \begin{array}{l} \text { Calculer } \ A=\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{7}\right)+\sin \left(-\frac{\pi}{7}\right) \ B=\cos \left(\frac{\pi}{9}\right)+\cos \left(\frac{4 \pi}{9}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{9}\right)+\cos \left(\frac{8 \pi}{9}\right) \ C=\sin (x)+\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\sin (x+\pi)+\sin \left(x+\frac{3 \pi}{2}\right) \end{array} $$ Exercice 5 Soit $$ x $$ un réel, simplifier les expressions suivantes : $$ \begin{array}{l} A=-\cos (x)+\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sin (\pi-x) \ B=\cos (x)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\cos \left(x+\frac{3 \pi}{2}\right)+\cos (\pi+x) \ C=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)-\cos (x)+\cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\sin (\pi-x) \ D=\sin ^{2} x+2 \cos ^{2} x-1 \ E=\sin ^{2} x-\cos ^{2} x \ F=(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2} \end{array} $$ Exercice 6 Calculer : $$ \begin{array}{l} A=\sin \left(\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right) \ B=\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{4 \pi}{3}\right)+\sin \left(\frac{7 \pi}{6}\right) \ C=\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+\cos \left(\frac{5 \pi}{4}\right)+\cos \left(\frac{7 \pi}{4}\right)+\cos \left(\frac{9 \pi}{4}\right) \ D=\tan \left(\frac{\pi}{12}\right)+\tan \left(\frac{5 \pi}{12}\right)+\tan \left(\frac{7 \pi}{12}\right)+\tan \left(\frac{11 \pi}{12}\right) \end{array} $$ Exercice 7 1. Justifier les égalités suivantes : $$ \cos \left(\frac{\pi}{10}\right)=\sin \left(\frac{2 \pi}{5}\right) $$ et $$ \cos \left(\frac{\pi}{5}\right)=\sin \left(\frac{3 \pi}{10}\right) $$ 2. En déduire que : $$ \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{2 \pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{10}\right)+\cos ^{2}\left(\frac{4 \pi}{10}\right)=2 $$ Exercice 8 Calculer les valeurs exactes de : $$ \cos \left(\frac{10 \pi}{3}\right) ; \sin \left(\frac{-21 \pi}{4}\right) ; \cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right) ; \sin \left(\frac{-31 \pi}{6}\right) $$ et $$ \tan \left(\frac{-11 \pi}{3}\right) $$ Exercice 9 1. Soit $$ \alpha $$ un réel de l'intervalle $$ ] \frac{\pi}{2} ; \pi[ $$ tel que $$ \sin \alpha=\frac{2 \sqrt{2}}{5} $$. Calculer $$ \cos \alpha $$ et $$ \tan \alpha $$ 2. Soit $$ \alpha $$ un réel de l'intervalle $$ ]-\frac{\pi}{2} ; 0 $$ [ tel que $$ \tan \alpha=-\frac{3}{2} $$. Calculer $$ \cos \alpha $$ et $$ \sin \alpha $$ Exercice 10 On donne $$ \tan \left(\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2}-1 $$. Sans utilis trice. 1. Calculer : $$ \tan \left(\frac{7 \pi}{8}\right) $$ et $$ \tan \left(\frac{3 \pi}{8}\right) $$ 2. Calculer : $$ \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) $$ et $$ \cos \left(\frac{7 \pi}{8}\right) $$ 3. Calculer : $$ \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) $$ et $$ \sin \left(\frac{7 \pi}{8}\right) $$ Exercice 11 Soit $$ x $$ un réel tel que : $$ x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi $$, avec $$ k \in \mathbb{Z} $$. 1. Montrer que : $$ \sin ^{2}(x)=\frac{\tan ^{2}(x)}{1+\tan ^{2}(x)} $$ 2. Montrer que : $$ \frac{1}{1-\sin x}+\frac{1}{1+\sin x}=2\left(1+\tan ^{2} x\right) $$ Exercice 12 Soit $$ x $$ un réel tel que : $$ x \neq \frac{\pi}{2}+k \pi $$ et $$ x \neq k \pi $$, avec $$ k \in \mathbb{Z} $$. Montrer les égalités suivantes :

Question

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### Exercice 1

1. **Placer les points sur le cercle trigonométrique :**

- Pour placer les points $$ D\left(-\frac{\pi}{4}\right) $$, $$ E\left(\frac{3 \pi}{4}\right) $$, $$ F\left(-\frac{2 \pi}{3}\right) $$, et $$ G\left(\frac{5 \pi}{6}\right) $$, nous devons d'abord comprendre où se situent ces angles sur le cercle trigonométrique.

- **Point D** : $$ -\frac{\pi}{4} $$ est dans le quatrième quadrant. En radians, cela correspond à $$ 45^\circ $$ dans le sens horaire.
   - **Point E** : $$ \frac{3\pi}{4} $$ est dans le deuxième quadrant. Cela correspond à $$ 135^\circ $$.
   - **Point F** : $$ -\frac{2\pi}{3} $$ est dans le quatrième quadrant. Cela correspond à $$ 120^\circ $$ dans le sens horaire.
   - **Point G** : $$ \frac{5\pi}{6} $$ est dans le deuxième quadrant. Cela correspond à $$ 150^\circ $$.

En résumé, les points sont placés comme suit :
   - $$ D $$ à $$ -\frac{\pi}{4} $$
   - $$ E $$ à $$ \frac{3\pi}{4} $$
   - $$ F $$ à $$ -\frac{2\pi}{3} $$
   - $$ G $$ à $$ \frac{5\pi}{6} $$

2. **Colorier les ensembles de points :**
   a) Pour $$ \alpha \in ]-\pi ; -\frac{2\pi}{3}] $$, cela inclut les points entre $$ -\pi $$ et $$ -\frac{2\pi}{3} $$.
   b) Pour $$ \alpha \in [-\frac{\pi}{4} ; \frac{3\pi}{4}] $$, cela inclut les points entre $$ -\frac{\pi}{4} $$ et $$ \frac{3\pi}{4} $$.

### Exercice 2

Pour déterminer si $$ x $$ et $$ y $$ sont des mesures d'un même angle orienté, nous devons vérifier si la différence $$ y - x $$ est un multiple de $$ 2\pi $$.

a) $$ x = -\frac{7\pi}{12} $$ et $$ y = \frac{65\pi}{12} $$

Calculons $$ y - x $$:
$$
y - x = \frac{65\pi}{12} - \left(-\frac{7\pi}{12}\right) = \frac{65\pi}{12} + \frac{7\pi}{12} = \frac{72\pi}{12} = 6\pi
$$
$$ 6\pi $$ est un multiple de $$ 2\pi $$, donc $$ x $$ et $$ y $$ sont des mesures d'un même angle orienté.

b) $$ x = \frac{26\pi}{3} $$ et $$ y = -\frac{7\pi}{3} $$

Calculons $$ y - x $$:
$$
y - x = -\frac{7\pi}{3} - \frac{26\pi}{3} = -\frac{33\pi}{3} = -11\pi
$$
$$ -11\pi $$ est un multiple de $$ 2\pi $$, donc $$ x $$ et $$ y $$ sont également des mesures d'un même angle orienté.

### Exercice 3

Pour déterminer la mesure principale des angles orientés, nous utilisons les relations données.

1. $$ (\vec{u} ; \vec{v}) \equiv -\frac{\pi}{9} [2\pi] $$
2. $$ (\vec{u} ; \vec{w}) \equiv -\frac{\pi}{4} [2\pi] $$

Calculons les angles demandés :

- $$ (\overrightarrow{\vec{v}} ; \vec{w}) = (\vec{u} ; \vec{w}) - (\vec{u} ; \vec{v}) $$
$$
= -\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{9}\right) = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{9}
$$
Pour simplifier, mettons tout au même dénominateur :
$$
-\frac{\pi}{4} = -\frac{9\pi}{36}, \quad \frac{\pi}{9} = \frac{4\pi}{36}
$$
Donc,
$$
-\frac{9\pi}{36} + \frac{4\pi}{36} = -\frac{5\pi}{36}
$$

- $$ (-\overrightarrow{\vec{u}} ; \vec{v}) = (\vec{v} ; \vec{u}) $$
$$
= -(\vec{u} ; \vec{v}) = \frac{\pi}{9}
$$

- $$ (-\overrightarrow{\vec{w}} ; \vec{v}) = (\vec{v} ; \vec{w}) $$
$$
= (\vec{u} ; \vec{v}) + (\vec{u} ; \vec{w}) = -\frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{4}
$$
En utilisant le même dénominateur :
$$
-\frac{\pi}{9} = -\frac{4\pi}{36}, \quad -\frac{\pi}{4} = -\frac{9\pi}{36}
$$
Donc,
$$
-\frac{4\pi}{36} - \frac{9\pi}{36} = -\frac{13\pi}{36}
$$

### Exercice 4

Calculons les valeurs demandées :

- **A** :
$$
A = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{7}\right) + \sin\left(-\frac{\pi}{7}\right)
$$
Sachant que $$ \cos(-x) = \cos(x) $$ et $$ \sin(-x) = -\sin(x) $$:
$$
A = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{7}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{7}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)
$$
Calculons $$ \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac
### Exercice 1 1. **Placer les points sur le cercle trigonométrique :** - $$ D\left(-\frac{\pi}{4}\right) $$ : 45° dans le quatrième quadrant. - $$ E\left(\frac{3\pi}{4}\right) $$ : 135° dans le deuxième quadrant. - $$ F\left(-\frac{2\pi}{3}\right) $$ : 120° dans le quatrième quadrant

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