Question
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2. En un triángulo rectángulo \( A B C \) (recto en B) re- duzca \( M=\operatorname{sen}^{2} A+\operatorname{sen}^{2} C+\sec ^{2} A-\cot ^{2} C \). \( \begin{array}{lll}\text { A) } 1 & \text { B) } 2 & \text { C) } 3 \\ \text { D) } 4 & \text { E) } 5\end{array} \)

Ask by Wright Nichols. in Peru
Mar 14,2025

Upstudy AI Solution

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Answer

El valor de \( M \) es 2, por lo que la respuesta correcta es B) 2.

Solution

Para resolver el problema, comenzamos analizando el triángulo rectángulo \( ABC \) donde el ángulo \( B \) es el ángulo recto. Por lo tanto, los ángulos \( A \) y \( C \) son complementarios, es decir, \( A + C = 90^\circ \). Dado esto, podemos usar las siguientes identidades trigonométricas: 1. \( \sin C = \cos A \) 2. \( \sec A = \frac{1}{\cos A} \) 3. \( \cot C = \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{\cos C}{\sin(90^\circ - C)} = \frac{\cos C}{\cos A} \) Ahora, vamos a reducir la expresión \( M = \sin^2 A + \sin^2 C + \sec^2 A - \cot^2 C \). ### Paso 1: Sustitución de \( \sin^2 C \) Usamos la identidad \( \sin C = \cos A \): \[ \sin^2 C = \cos^2 A \] ### Paso 2: Sustitución de \( \sec^2 A \) La identidad de la secante es: \[ \sec^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} \] ### Paso 3: Sustitución de \( \cot^2 C \) Usamos la identidad de la cotangente: \[ \cot^2 C = \frac{\cos^2 C}{\sin^2 C} = \frac{\cos^2 C}{\cos^2 A} \] Dado que \( C = 90^\circ - A \), tenemos \( \cos C = \sin A \): \[ \cot^2 C = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} \] ### Paso 4: Sustitución en \( M \) Sustituyendo todo en \( M \): \[ M = \sin^2 A + \cos^2 A + \frac{1}{\cos^2 A} - \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} \] ### Paso 5: Simplificación Sabemos que \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \): \[ M = 1 + \frac{1}{\cos^2 A} - \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} \] Ahora, podemos combinar los términos: \[ M = 1 + \frac{1 - \sin^2 A}{\cos^2 A} = 1 + \frac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = 1 + 1 = 2 \] ### Resultado Final Por lo tanto, el valor de \( M \) es: \[ \boxed{2} \] La respuesta correcta es la opción B) 2.

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Para resolver \( M = \operatorname{sen}^{2} A + \operatorname{sen}^{2} C + \sec^{2} A - \cot^{2} C \) en el triángulo rectángulo \( ABC \), utilizamos las relaciones trigonométricas. En este triángulo, sabemos que \( \angle A + \angle C = 90^\circ \). Por lo tanto, \( \operatorname{sen}^2 C = \operatorname{cos}^2 A \) y \( \sec^2 A = 1 + \tan^2 A \). Sustituyendo y simplificando: \[ M = \operatorname{sen}^{2} A + \operatorname{cos}^{2} A + (1 + \tan^{2} A) - \cot^{2} C \] Además, recuerda que \( \cot^2 C = \frac{1}{\tan^2 A} \). Simplificando los términos y usando la identidad \( \operatorname{sen}^2 A + \operatorname{cos}^2 A = 1 \): \[ M = 1 + 1 + \tan^2 A - \frac{1}{\tan^2 A} \] Ahora, utilizando \( x = \tan^2 A \): \[ M = 2 + x - \frac{1}{x} \] Simplificando más: \[ M = 2 + \frac{x^2 - 1}{x} \] Utilizando que \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \), la mínima ocurre cuando \( x = 1 \). En ese caso, \( M = 2 + 1 - 1 = 2 \). Por lo tanto, la respuesta es \( \text{B) } 2 \).

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