2. En un triángulo rectángulo \( A B C \) (recto en B) re- duzca \( M=\operatorname{sen}^{2} A+\operatorname{sen}^{2} C+\sec ^{2} A-\cot ^{2} C \). \( \begin{array}{lll}\text { A) } 1 & \text { B) } 2 & \text { C) } 3 \\ \text { D) } 4 & \text { E) } 5\end{array} \)

Para resolver el problema, comenzamos analizando el triángulo rectángulo \( ABC \) donde el ángulo \( B \) es el ángulo recto. Por lo tanto, los ángulos \( A \) y \( C \) son complementarios, es decir, \( A + C = 90^\circ \). Dado esto, podemos usar las siguientes identidades trigonométricas: 1. \( \sin C = \cos A \) 2. \( \sec A = \frac{1}{\cos A} \) 3. \( \cot C = \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{\cos C}{\sin(90^\circ - C)} = \frac{\cos C}{\cos A} \) Ahora, vamos a reducir la expresión \( M = \sin^2 A + \sin^2 C + \sec^2 A - \cot^2 C \). ### Paso 1: Sustitución de \( \sin^2 C \) Usamos la identidad \( \sin C = \cos A \): \[ \sin^2 C = \cos^2 A \] ### Paso 2: Sustitución de \( \sec^2 A \) La identidad de la secante es: \[ \sec^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} \] ### Paso 3: Sustitución de \( \cot^2 C \) Usamos la identidad de la cotangente: \[ \cot^2 C = \frac{\cos^2 C}{\sin^2 C} = \frac{\cos^2 C}{\cos^2 A} \] Dado que \( C = 90^\circ - A \), tenemos \( \cos C = \sin A \): \[ \cot^2 C = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} \] ### Paso 4: Sustitución en \( M \) Sustituyendo todo en \( M \): \[ M = \sin^2 A + \cos^2 A + \frac{1}{\cos^2 A} - \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} \] ### Paso 5: Simplificación Sabemos que \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \): \[ M = 1 + \frac{1}{\cos^2 A} - \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} \] Ahora, podemos combinar los términos: \[ M = 1 + \frac{1 - \sin^2 A}{\cos^2 A} = 1 + \frac{\cos^2 A}{\cos^2 A} = 1 + 1 = 2 \] ### Resultado Final Por lo tanto, el valor de \( M \) es: \[ \boxed{2} \] La respuesta correcta es la opción B) 2.