2. En un triángulo rectángulo \( A B C \) (recto en B) re- duzca \( M=\operatorname{sen}^{2} A+\operatorname{sen}^{2} C+\sec ^{2} A-\cot ^{2} C \). \( \begin{array}{lll}\text { A) } 1 & \text { B) } 2 & \text { C) } 3 \\ \text { D) } 4 & \text { E) } 5\end{array} \)

Para resolver \( M = \operatorname{sen}^{2} A + \operatorname{sen}^{2} C + \sec^{2} A - \cot^{2} C \) en el triángulo rectángulo \( ABC \), utilizamos las relaciones trigonométricas. En este triángulo, sabemos que \( \angle A + \angle C = 90^\circ \). Por lo tanto, \( \operatorname{sen}^2 C = \operatorname{cos}^2 A \) y \( \sec^2 A = 1 + \tan^2 A \). Sustituyendo y simplificando: \[ M = \operatorname{sen}^{2} A + \operatorname{cos}^{2} A + (1 + \tan^{2} A) - \cot^{2} C \] Además, recuerda que \( \cot^2 C = \frac{1}{\tan^2 A} \). Simplificando los términos y usando la identidad \( \operatorname{sen}^2 A + \operatorname{cos}^2 A = 1 \): \[ M = 1 + 1 + \tan^2 A - \frac{1}{\tan^2 A} \] Ahora, utilizando \( x = \tan^2 A \): \[ M = 2 + x - \frac{1}{x} \] Simplificando más: \[ M = 2 + \frac{x^2 - 1}{x} \] Utilizando que \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \), la mínima ocurre cuando \( x = 1 \). En ese caso, \( M = 2 + 1 - 1 = 2 \). Por lo tanto, la respuesta es \( \text{B) } 2 \).