Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de. \( 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). Determine el tiempo total (en segundos) que la pelota está en el aire hasta que regresa al suelo.

Para determinar el tiempo total que la pelota está en el aire hasta que regresa al suelo, primero necesitamos encontrar el tiempo que tarda en alcanzar su punto máximo y luego el tiempo que tarda en caer de nuevo al suelo. Dado que la pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de \(40 \, \text{m/s}\), podemos utilizar la ecuación de la posición en función del tiempo para una proyección vertical: \[ y(t) = y_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \] Donde: - \( y(t) \) es la posición en el tiempo \( t \), - \( y_0 \) es la posición inicial (en este caso, \( y_0 = 0 \) ya que se lanza desde el suelo), - \( v_0 \) es la velocidad inicial (en este caso, \( v_0 = 40 \, \text{m/s} \)), - \( g \) es la aceleración debida a la gravedad (en este caso, \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)). Para encontrar el tiempo que tarda la pelota en alcanzar su punto máximo, establecemos la velocidad en cero: \[ v(t) = v_0 - gt = 0 \] Resolviendo esta ecuación, podemos encontrar el tiempo \( t_{\text{max}} \) en el que la pelota alcanza su punto máximo. Una vez que tenemos el tiempo \( t_{\text{max}} \), podemos encontrar el tiempo total que la pelota está en el aire sumando el tiempo que tarda en caer de nuevo al suelo. El tiempo total es igual a \( 2t_{\text{max}} \). Vamos a resolver el problema paso a paso. Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(t\): \(40-9.81t=0\) - step1: Move the constant to the right side: \(-9.81t=0-40\) - step2: Remove 0: \(-9.81t=-40\) - step3: Change the signs: \(9.81t=40\) - step4: Divide both sides: \(\frac{9.81t}{9.81}=\frac{40}{9.81}\) - step5: Divide the numbers: \(t=\frac{4000}{981}\) La solución para el tiempo \( t \) en el que la pelota alcanza su punto máximo es \( t = \frac{4000}{981} \) segundos. Ahora, para encontrar el tiempo total que la pelota está en el aire, simplemente multiplicamos este tiempo por 2: \[ \text{Tiempo total} = 2 \times \frac{4000}{981} \] Vamos a calcular esto. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{2\times 4000}{981}\) - step1: Multiply the numbers: \(\frac{8000}{981}\) El tiempo total que la pelota está en el aire hasta que regresa al suelo es aproximadamente \(8.154944\) segundos. Por lo tanto, la pelota está en el aire durante aproximadamente \(8.154944\) segundos.