Calcule el valor de la integral doble \( \int_{0}^{1} \int_{0}^{x}(2 x+3 y) d y d x \)

Se desea calcular la integral doble \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (2x + 3y) \, dy \, dx. \] **Paso 1. Integrar respecto a \( y \) (integral interna)** Se tiene \[ \int_{0}^{x} (2x + 3y) \, dy. \] Observa que \(2x\) es constante respecto a \(y\). Por lo tanto, se puede separar la integral: \[ \int_{0}^{x} (2x + 3y) \, dy = 2x \int_{0}^{x} dy + 3 \int_{0}^{x} y \, dy. \] Calculamos cada una: 1. \(\displaystyle \int_{0}^{x} dy = \left[ y \right]_{0}^{x} = x.\) 2. \(\displaystyle \int_{0}^{x} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{x^2}{2}.\) Entonces, \[ \int_{0}^{x} (2x + 3y) \, dy = 2x \cdot x + 3 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2 + \frac{3}{2}x^2. \] Sumando los términos: \[ 2x^2 + \frac{3}{2}x^2 = \frac{4}{2}x^2 + \frac{3}{2}x^2 = \frac{7}{2}x^2. \] **Paso 2. Integrar respecto a \( x \) (integral externa)** La integral queda \[ \int_{0}^{1} \frac{7}{2}x^2 \, dx. \] Sacamos la constante \(\frac{7}{2}\) fuera de la integral: \[ \frac{7}{2} \int_{0}^{1} x^2 \, dx. \] Sabemos que \[ \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}. \] Por lo tanto, \[ \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{6}. \] **Respuesta final:** \[ \frac{7}{6}. \]