5. Докажите равенство: 1) \( \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} \cos \frac{5 \pi}{7}=\frac{1}{8} \)

Чтобы доказать равенство \( \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} \cos \frac{5 \pi}{7} = \frac{1}{8} \), мы можем использовать факторизацию тригонометрических функций и их симметрические свойства. Одна из замечательных формул включает в себя использование комплексных корней из unity. Записываем функцию \( y = \cos 7x \), которая равна нулю, когда \( 7x = k\pi \) для \( k \in \mathbb{Z} \). Это приводит к корням \( x = \frac{k\pi}{7} \) для \( k = 0, 1, 2, \ldots, 6 \). Отметим, что \( \cos \frac{\pi}{7}, \cos \frac{4\pi}{7}, \cos \frac{5\pi}{7} \) являются корнями. Подставляя их в известную формулу для произведения косинусов и используя симметричные свойства косинусов, можно преобразовать уравнение и прийти к требуемому результату. Таким образом, мы приходим к выводу, что \( \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{4 \pi}{7} \cos \frac{5 \pi}{7} = \frac{1}{8} \) действительно верно, что и требовалось доказать.