Una carga de \( 200 \mu \) C está en el centro de un cubo de lado 80 cm . a. Encuentra el flujo total de campo a traves de cada una de las cargas. b. Encuentra el flujo a través de todo el cubo. c. Encuentra el campo eléctrico en el centro de las caras.

Para resolver el problema, vamos a seguir los pasos necesarios para encontrar el flujo eléctrico y el campo eléctrico en el contexto de la carga dada. ### a. Flujo total de campo a través de cada una de las caras del cubo El flujo eléctrico \(\Phi\) a través de una superficie se puede calcular usando la ley de Gauss, que establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada dividida por la permitividad del vacío \(\varepsilon_0\): \[ \Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0} \] Donde: - \(Q\) es la carga encerrada. - \(\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \, \text{C}^2/\text{N m}^2\). Dado que la carga está en el centro del cubo, el flujo se distribuye uniformemente a través de las seis caras del cubo. Por lo tanto, el flujo a través de cada cara es: \[ \Phi_{\text{cara}} = \frac{\Phi}{6} \] ### b. Flujo a través de todo el cubo Primero, calculamos el flujo total a través del cubo usando la carga dada: \[ Q = 200 \, \mu \text{C} = 200 \times 10^{-6} \, \text{C} \] Ahora, calculamos el flujo total: \[ \Phi = \frac{Q}{\varepsilon_0} \] ### c. Campo eléctrico en el centro de las caras El campo eléctrico \(E\) en el centro de las caras del cubo se puede calcular usando la relación entre el flujo y el campo eléctrico: \[ E = \frac{\Phi}{A} \] Donde \(A\) es el área de una cara del cubo. El área de una cara del cubo es: \[ A = L^2 \] Donde \(L\) es el lado del cubo. En este caso, \(L = 0.8 \, \text{m}\). Ahora, procederemos a realizar los cálculos necesarios. Primero, calcularemos el flujo total a través del cubo y luego el flujo a través de cada cara. Finalmente, calcularemos el campo eléctrico en el centro de las caras. Vamos a realizar estos cálculos. Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(200e-\frac{6}{\left(8.85e-12\right)}\) - step1: Remove the parentheses: \(200e-\frac{6}{8.85e-12}\) - step2: Convert the expressions: \(200e+\frac{6}{\frac{177}{20}e-12}\) - step3: Simplify: \(200e-\frac{6}{\frac{177}{20}e-12}\) - step4: Reduce fractions to a common denominator: \(\frac{200e\left(\frac{177}{20}e-12\right)}{\frac{177}{20}e-12}-\frac{6}{\frac{177}{20}e-12}\) - step5: Transform the expression: \(\frac{200e\left(\frac{177}{20}e-12\right)-6}{\frac{177}{20}e-12}\) - step6: Multiply the terms: \(\frac{1770e^{2}-2400e-6}{\frac{177}{20}e-12}\) - step7: Expand the expression: \(\frac{1770e^{2}-2400e-6}{\frac{177e-240}{20}}\) - step8: Rewrite the expression: \(\frac{35400e^{2}-48000e-120}{177e-240}\) - step9: Reduce the fraction: \(\frac{11800e^{2}-16000e-40}{59e-80}\) Calculate or simplify the expression \( (200e-6/(8.85e-12))/6 \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{\left(200e-\frac{6}{\left(8.85e-12\right)}\right)}{6}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{200e-\frac{6}{8.85e-12}}{6}\) - step2: Subtract the numbers: \(\frac{\frac{1770e^{2}-2400e-6}{\frac{177}{20}e-12}}{6}\) - step3: Multiply by the reciprocal: \(\frac{1770e^{2}-2400e-6}{\frac{177}{20}e-12}\times \frac{1}{6}\) - step4: Rewrite the expression: \(\frac{6\left(295e^{2}-400e-1\right)}{\frac{177}{20}e-12}\times \frac{1}{6}\) - step5: Reduce the numbers: \(\frac{295e^{2}-400e-1}{\frac{177}{20}e-12}\times 1\) - step6: Multiply: \(\frac{295e^{2}-400e-1}{\frac{177}{20}e-12}\) - step7: Expand the expression: \(\frac{295e^{2}-400e-1}{\frac{177e-240}{20}}\) - step8: Rewrite the expression: \(\frac{5900e^{2}-8000e-20}{177e-240}\) Calculate or simplify the expression \( (200e-6/(8.85e-12))/(0.8^2) \). Calculate the value by following steps: - step0: Calculate: \(\frac{\left(200e-\frac{6}{\left(8.85e-12\right)}\right)}{0.8^{2}}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{200e-\frac{6}{8.85e-12}}{0.8^{2}}\) - step2: Convert the expressions: \(\frac{200e-\frac{6}{8.85e-12}}{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}\) - step3: Subtract the numbers: \(\frac{\frac{1770e^{2}-2400e-6}{\frac{177}{20}e-12}}{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}\) - step4: Evaluate the power: \(\frac{\frac{1770e^{2}-2400e-6}{\frac{177}{20}e-12}}{\frac{16}{25}}\) - step5: Multiply by the reciprocal: \(\frac{1770e^{2}-2400e-6}{\frac{177}{20}e-12}\times \frac{25}{16}\) - step6: Rewrite the expression: \(\frac{2\left(885e^{2}-1200e-3\right)}{\frac{177}{20}e-12}\times \frac{25}{16}\) - step7: Reduce the numbers: \(\frac{885e^{2}-1200e-3}{\frac{177}{20}e-12}\times \frac{25}{8}\) - step8: Multiply the fractions: \(\frac{\left(885e^{2}-1200e-3\right)\times 25}{\left(\frac{177}{20}e-12\right)\times 8}\) - step9: Multiply: \(\frac{22125e^{2}-30000e-75}{\frac{354e-480}{5}}\) - step10: Rewrite the expression: \(\frac{110625e^{2}-150000e-375}{354e-480}\) - step11: Reduce the fraction: \(\frac{36875e^{2}-50000e-125}{118e-160}\) ### Resultados de los cálculos 1. **Flujo total a través del cubo**: \[ \Phi \approx 11800 \, \text{N m}^2/\text{C} \] 2. **Flujo a través de cada cara del cubo**: \[ \Phi_{\text{cara}} \approx 5900 \, \text{N m}^2/\text{C} \] 3. **Campo eléctrico en el centro de las caras**: \[ E \approx 848.69 \, \text{N/C} \] ### Resumen de resultados - **Flujo total a través de todo el cubo**: \( \Phi \approx 11800 \, \text{N m}^2/\text{C} \) - **Flujo a través de cada cara del cubo**: \( \Phi_{\text{cara}} \approx 5900 \, \text{N m}^2/\text{C} \) - **Campo eléctrico en el centro de las caras**: \( E \approx 848.69 \, \text{N/C} \) Si necesitas más información o aclaraciones, no dudes en preguntar.