Determine si es verdadero o falso la siguiente proposición: Si \( F(x) \) es una antiderivada de \( f(x) \), enton \[ \left(\frac{1}{c}\right) F(c x) \] una antiderivada de \( f(c x) \)

Para determinar si la proposición es verdadera o falsa, vamos a analizarla paso a paso. 1. **Definición de antiderivada**: Si \( F(x) \) es una antiderivada de \( f(x) \), esto significa que: \[ F'(x) = f(x) \] 2. **Proposición a analizar**: La proposición dice que si \( F(x) \) es una antiderivada de \( f(x) \), entonces: \[ \left(\frac{1}{c}\right) F(c x) \] es una antiderivada de \( f(c x) \). 3. **Derivada de la función propuesta**: Vamos a calcular la derivada de \( \left(\frac{1}{c}\right) F(c x) \) usando la regla de la cadena. La derivada es: \[ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{c}\right) F(c x) = \frac{1}{c} \cdot F'(c x) \cdot \frac{d}{dx}(c x) = \frac{1}{c} \cdot F'(c x) \cdot c = F'(c x) \] 4. **Sustitución de la antiderivada**: Dado que \( F'(x) = f(x) \), podemos sustituir: \[ F'(c x) = f(c x) \] 5. **Conclusión**: Por lo tanto, tenemos que: \[ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{c}\right) F(c x) = f(c x) \] Esto significa que \( \left(\frac{1}{c}\right) F(c x) \) es efectivamente una antiderivada de \( f(c x) \). Por lo tanto, la proposición es **verdadera**.