8. \( \sin x \cdot \sec x+\cos x \cdot \operatorname{cosec} x=3 \) ise, \( \tan ^{2} x+\cot ^{2} x \) ifadesinin değeri kaçtır?

Birinci adım olarak, verilen denklemi düzenleyelim. \(\sec x\) ve \(\cosec x\)'in tanımını kullanarak ifadeyi yeniden yazabiliriz: \[ \sin x \cdot \sec x = \sin x \cdot \frac{1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \] \[ \cos x \cdot \operatorname{cosec} x = \cos x \cdot \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \] Bu durumda verilen denklem, \(\tan x + \cot x = 3\) olur. Şimdi \(\tan^2 x + \cot^2 x\) ifadesini bulmak için \(\tan x\) ve \(\cot x\) değerlerini kullanabiliriz. Biliyoruz ki: \[ \tan^2 x + \cot^2 x = \tan^2 x + \frac{1}{\tan^2 x} \] \(y = \tan x\) olarak alırsak; o zaman \(y + \frac{1}{y} = 3\) denklemini elde ederiz. Bu denklemi \((y + \frac{1}{y})^2 = 9\) şeklinde genişlettiğimizde; \[ y^2 + 2 + \frac{1}{y^2} = 9 \implies y^2 + \frac{1}{y^2} = 7 \] Sonuç olarak, \[ \tan^2 x + \cot^2 x = 7 \] Bu durumda, ifadenin değeri **7**'dir.