(ii) Utiliza las propiedades de la potenciación para simplificar cada expresión. $$ \begin{array}{ll} ext { a. }\left(\frac{8 m n^{2}}{m^{-3} n} ight)^{-2} \cdot\left(\frac{n^{5} z}{4 m} ight) & ext { b. } \frac{\left(x^{3} y^{4} z^{2} ight)^{-2} \cdot\left(x^{2} z^{5} ight)^{-3}}{\left(x^{2} y^{3} ight)^{10}}\end{array} $$

Question

(ii) Utiliza las propiedades de la potenciación para simplificar cada expresión. $$ \begin{array}{ll}	ext { a. }\left(\frac{8 m n^{2}}{m^{-3} n}ight)^{-2} \cdot\left(\frac{n^{5} z}{4 m}ight) & 	ext { b. } \frac{\left(x^{3} y^{4} z^{2}ight)^{-2} \cdot\left(x^{2} z^{5}ight)^{-3}}{\left(x^{2} y^{3}ight)^{10}}\end{array} $$

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Para simplificar las expresiones dadas, utilizaremos las propiedades de la potenciación, que incluyen:

1. $$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$
2. $$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$
3. $$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $$
4. $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$

Ahora, vamos a simplificar cada expresión paso a paso.

### a. $$ \left(\frac{8 m n^{2}}{m^{-3} n}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{n^{5} z}{4 m}\right) $$

1. **Simplificar la primera parte**:
   $$
   \frac{8 m n^{2}}{m^{-3} n} = 8 m^{1 - (-3)} n^{2 - 1} = 8 m^{1 + 3} n^{1} = 8 m^{4} n
   $$
   Entonces, la expresión se convierte en:
   $$
   \left(8 m^{4} n\right)^{-2}
   $$

2. **Aplicar la propiedad de la potenciación**:
   $$
   (8 m^{4} n)^{-2} = 8^{-2} m^{-8} n^{-2} = \frac{1}{64} m^{-8} n^{-2}
   $$

3. **Simplificar la segunda parte**:
   $$
   \frac{n^{5} z}{4 m} = \frac{1}{4} n^{5} z m^{-1}
   $$

4. **Multiplicar ambas partes**:
   $$
   \frac{1}{64} m^{-8} n^{-2} \cdot \frac{1}{4} n^{5} z m^{-1} = \frac{1}{256} m^{-8 - 1} n^{-2 + 5} z = \frac{1}{256} m^{-9} n^{3} z
   $$

### b. $$ \frac{\left(x^{3} y^{4} z^{2}\right)^{-2} \cdot\left(x^{2} z^{5}\right)^{-3}}{\left(x^{2} y^{3}\right)^{10}} $$

1. **Simplificar el numerador**:
   $$
   \left(x^{3} y^{4} z^{2}\right)^{-2} = x^{-6} y^{-8} z^{-4}
   $$
   $$
   \left(x^{2} z^{5}\right)^{-3} = x^{-6} z^{-15}
   $$
   Entonces, el numerador se convierte en:
   $$
   x^{-6} y^{-8} z^{-4} \cdot x^{-6} z^{-15} = x^{-6 - 6} y^{-8} z^{-4 - 15} = x^{-12} y^{-8} z^{-19}
   $$

2. **Simplificar el denominador**:
   $$
   \left(x^{2} y^{3}\right)^{10} = x^{20} y^{30}
   $$

3. **Dividir el numerador por el denominador**:
   $$
   \frac{x^{-12} y^{-8} z^{-19}}{x^{20} y^{30}} = x^{-12 - 20} y^{-8 - 30} z^{-19} = x^{-32} y^{-38} z^{-19}
   $$

Finalmente, las expresiones simplificadas son:

### Resultados:
a. $$ \frac{1}{256} m^{-9} n^{3} z $$

b. $$ x^{-32} y^{-38} z^{-19} $$
a. $$ \frac{1}{256} m^{-9} n^{3} z $$ b. $$ x^{-32} y^{-38} z^{-19} $$

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