(ii) Utiliza las propiedades de la potenciación para simplificar cada expresión. \( \begin{array}{ll}\text { a. }\left(\frac{8 m n^{2}}{m^{-3} n}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{n^{5} z}{4 m}\right) & \text { b. } \frac{\left(x^{3} y^{4} z^{2}\right)^{-2} \cdot\left(x^{2} z^{5}\right)^{-3}}{\left(x^{2} y^{3}\right)^{10}}\end{array} \)

Para simplificar las expresiones dadas, utilizaremos las propiedades de la potenciación, que incluyen: 1. \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) 2. \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) 3. \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) 4. \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) Ahora, vamos a simplificar cada expresión paso a paso. ### a. \( \left(\frac{8 m n^{2}}{m^{-3} n}\right)^{-2} \cdot\left(\frac{n^{5} z}{4 m}\right) \) 1. **Simplificar la primera parte**: \[ \frac{8 m n^{2}}{m^{-3} n} = 8 m^{1 - (-3)} n^{2 - 1} = 8 m^{1 + 3} n^{1} = 8 m^{4} n \] Entonces, la expresión se convierte en: \[ \left(8 m^{4} n\right)^{-2} \] 2. **Aplicar la propiedad de la potenciación**: \[ (8 m^{4} n)^{-2} = 8^{-2} m^{-8} n^{-2} = \frac{1}{64} m^{-8} n^{-2} \] 3. **Simplificar la segunda parte**: \[ \frac{n^{5} z}{4 m} = \frac{1}{4} n^{5} z m^{-1} \] 4. **Multiplicar ambas partes**: \[ \frac{1}{64} m^{-8} n^{-2} \cdot \frac{1}{4} n^{5} z m^{-1} = \frac{1}{256} m^{-8 - 1} n^{-2 + 5} z = \frac{1}{256} m^{-9} n^{3} z \] ### b. \( \frac{\left(x^{3} y^{4} z^{2}\right)^{-2} \cdot\left(x^{2} z^{5}\right)^{-3}}{\left(x^{2} y^{3}\right)^{10}} \) 1. **Simplificar el numerador**: \[ \left(x^{3} y^{4} z^{2}\right)^{-2} = x^{-6} y^{-8} z^{-4} \] \[ \left(x^{2} z^{5}\right)^{-3} = x^{-6} z^{-15} \] Entonces, el numerador se convierte en: \[ x^{-6} y^{-8} z^{-4} \cdot x^{-6} z^{-15} = x^{-6 - 6} y^{-8} z^{-4 - 15} = x^{-12} y^{-8} z^{-19} \] 2. **Simplificar el denominador**: \[ \left(x^{2} y^{3}\right)^{10} = x^{20} y^{30} \] 3. **Dividir el numerador por el denominador**: \[ \frac{x^{-12} y^{-8} z^{-19}}{x^{20} y^{30}} = x^{-12 - 20} y^{-8 - 30} z^{-19} = x^{-32} y^{-38} z^{-19} \] Finalmente, las expresiones simplificadas son: ### Resultados: a. \( \frac{1}{256} m^{-9} n^{3} z \) b. \( x^{-32} y^{-38} z^{-19} \)