Если \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=0 \), то числовой ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, a_{n} \geq 0 \)

Для доказательства того, что ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) сходится при условии \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=0 \), воспользуемся критерием корней. 1. **Условие**: Мы знаем, что \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=0 \). Это означает, что для любого \( \epsilon > 0 \) существует такое \( N \), что для всех \( n > N \) выполняется неравенство \( \sqrt[n]{a_{n}} < \epsilon \). 2. **Выбор \( \epsilon \)**: Выберем \( \epsilon = \frac{1}{2} \). Тогда существует \( N \), такое что для всех \( n > N \) выполняется: \[ \sqrt[n]{a_{n}} < \frac{1}{2}. \] 3. **Возведение в степень**: Из этого неравенства следует, что: \[ a_{n} < \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \quad \text{для всех } n > N. \] 4. **Сравнение с геометрическим рядом**: Ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \) является геометрическим рядом с первым членом \( \frac{1}{2} \) и знаменателем \( \frac{1}{2} \), который сходится. 5. **Применение критерия сравнения**: Поскольку \( a_{n} < \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \) для всех \( n > N \), и ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \) сходится, по критерию сравнения следует, что ряд \( \sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n} \) также сходится. 6. **Заключение**: Таким образом, ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) сходится. Итак, мы доказали, что если \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=0 \), то ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) сходится.