Если $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=0 $$, то числовой ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, a_{n} \geq 0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Для доказательства того, что ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $$ сходится при условии $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=0 $$, воспользуемся критерием корней. 1. **Условие**: Мы знаем, что $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=0 $$. Это означает, что для любого $$ \epsilon > 0 $$ существует такое $$ N $$, что для всех $$ n > N $$ выполняется неравенство $$ \sqrt[n]{a_{n}} < \epsilon $$. 2. **Выбор $$ \epsilon $$**: Выберем $$ \epsilon = \frac{1}{2} $$. Тогда существует $$ N $$, такое что для всех $$ n > N $$ выполняется: $$ \sqrt[n]{a_{n}} < \frac{1}{2}. $$ 3. **Возведение в степень**: Из этого неравенства следует, что: $$ a_{n} < \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \quad \text{для всех } n > N. $$ 4. **Сравнение с геометрическим рядом**: Ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} $$ является геометрическим рядом с первым членом $$ \frac{1}{2} $$ и знаменателем $$ \frac{1}{2} $$, который сходится. 5. **Применение критерия сравнения**: Поскольку $$ a_{n} < \left(\frac{1}{2}\right)^{n} $$ для всех $$ n > N $$, и ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} $$ сходится, по критерию сравнения следует, что ряд $$ \sum_{n=N+1}^{\infty} a_{n} $$ также сходится. 6. **Заключение**: Таким образом, ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $$ сходится. Итак, мы доказали, что если $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=0 $$, то ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $$ сходится. Если $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=0 $$, то ряд $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $$ сходится.

Если \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=0 \), то числовой ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, a_{n} \geq 0 \)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Calculus Questions