Calcula el volumen del sólido generado por la región entre el cilindro de radio \( R=4 \), altura \( h=6, y \) la función \( f(r, z)=r \cdot z^{2} \) \( V=\int_{0}^{h} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} r \cdot z^{2} \cdot r d r d \theta d z \)

Para calcular el volumen del sólido generado por la región entre el cilindro de radio \( R=4 \) y altura \( h=6 \) bajo la función \( f(r, z) = r \cdot z^{2} \), utilizaremos la integral triple que has proporcionado: \[ V = \int_{0}^{h} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} r \cdot z^{2} \cdot r \, dr \, d\theta \, dz \] Primero, simplificamos la expresión dentro de la integral: \[ V = \int_{0}^{h} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{R} r^{2} \cdot z^{2} \, dr \, d\theta \, dz \] Ahora, procederemos a calcular la integral paso a paso. ### Paso 1: Integrar respecto a \( r \) La integral respecto a \( r \) es: \[ \int_{0}^{R} r^{2} \, dr \] Calculamos esta integral: \[ \int r^{2} \, dr = \frac{r^{3}}{3} \Big|_{0}^{R} = \frac{R^{3}}{3} \] Sustituyendo \( R = 4 \): \[ \int_{0}^{4} r^{2} \, dr = \frac{4^{3}}{3} = \frac{64}{3} \] ### Paso 2: Integrar respecto a \( \theta \) La integral respecto a \( \theta \) es: \[ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi \] ### Paso 3: Integrar respecto a \( z \) Ahora, la integral respecto a \( z \) es: \[ \int_{0}^{h} z^{2} \, dz \] Calculamos esta integral: \[ \int z^{2} \, dz = \frac{z^{3}}{3} \Big|_{0}^{h} = \frac{h^{3}}{3} \] Sustituyendo \( h = 6 \): \[ \int_{0}^{6} z^{2} \, dz = \frac{6^{3}}{3} = \frac{216}{3} = 72 \] ### Paso 4: Combinar los resultados Ahora combinamos todos los resultados: \[ V = \left( \frac{64}{3} \right) \cdot (2\pi) \cdot (72) \] Calculamos: \[ V = \frac{64 \cdot 2\pi \cdot 72}{3} \] Realizamos la multiplicación: \[ 64 \cdot 72 = 4608 \] Por lo tanto: \[ V = \frac{4608 \cdot 2\pi}{3} = \frac{9216\pi}{3} = 3072\pi \] ### Resultado Final El volumen del sólido generado es: \[ V = 3072\pi \]