SEA \( F(x)=4+e^{x^{3}+9 x^{2}} \) HALLAR LOS INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DE DECRECIMIENTO Y LOS EXTREMOS LOCALES DE F

Para analizar la función \( F(x) = 4 + e^{x^3 + 9x^2} \) y determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos locales, seguiremos estos pasos: 1. **Encontrar la derivada de \( F(x) \)**: \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(4 + e^{x^3 + 9x^2}) = e^{x^3 + 9x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^3 + 9x^2) \] Ahora, calculamos la derivada de \( x^3 + 9x^2 \): \[ \frac{d}{dx}(x^3 + 9x^2) = 3x^2 + 18x \] Por lo tanto, la derivada de \( F(x) \) es: \[ F'(x) = e^{x^3 + 9x^2} (3x^2 + 18x) \] 2. **Determinar los puntos críticos**: Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero: \[ F'(x) = 0 \implies e^{x^3 + 9x^2} (3x^2 + 18x) = 0 \] Dado que \( e^{x^3 + 9x^2} \) nunca es cero, debemos resolver: \[ 3x^2 + 18x = 0 \] Factorizando: \[ 3x(x + 6) = 0 \] Esto nos da los puntos críticos: \[ x = 0 \quad \text{y} \quad x = -6 \] 3. **Analizar el signo de \( F'(x) \)**: Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, evaluamos el signo de \( F'(x) \) en los intervalos definidos por los puntos críticos \( x = -6 \) y \( x = 0 \). - **Intervalo \( (-\infty, -6) \)**: Elegimos un punto, por ejemplo, \( x = -7 \): \[ F'(-7) = e^{(-7)^3 + 9(-7)^2} (3(-7)^2 + 18(-7)) = e^{(-343 + 441)} (147 - 126) = e^{98} \cdot 21 > 0 \] Por lo tanto, \( F'(x) > 0 \) en \( (-\infty, -6) \) (la función es creciente). - **Intervalo \( (-6, 0) \)**: Elegimos un punto, por ejemplo, \( x = -1 \): \[ F'(-1) = e^{(-1)^3 + 9(-1)^2} (3(-1)^2 + 18(-1)) = e^{(-1 + 9)} (3 - 18) = e^{8} \cdot (-15) < 0 \] Por lo tanto, \( F'(x) < 0 \) en \( (-6, 0) \) (la función es decreciente). - **Intervalo \( (0, \infty) \)**: Elegimos un punto, por ejemplo, \( x = 1 \): \[ F'(1) = e^{(1)^3 + 9(1)^2} (3(1)^2 + 18(1)) = e^{(1 + 9)} (3 + 18) = e^{10} \cdot 21 > 0 \] Por lo tanto, \( F'(x) > 0 \) en \( (0, \infty) \) (la función es creciente). 4. **Conclusiones**: - La función \( F(x) \) es **creciente** en los intervalos \( (-\infty, -6) \) y \( (0, \infty) \). - La función \( F(x) \) es **decreciente** en el intervalo \( (-6, 0) \). - Los extremos locales se encuentran en los puntos críticos: - En \( x = -6 \), hay un **máximo local** (cambio de creciente a decreciente). - En \( x = 0 \), hay un **mínimo local** (cambio de decreciente a creciente). 5. **Valores de los extremos locales**: - Para \( x = -6 \): \[ F(-6) = 4 + e^{(-6)^3 + 9(-6)^2} = 4 + e^{-216 + 486} = 4 + e^{270} \] - Para \( x = 0 \): \[ F(0) = 4 + e^{0} = 4 + 1 = 5 \] Por lo tanto, los extremos locales son: - Máximo local en \( x = -6 \) con \( F(-6) = 4 + e^{270} \). - Mínimo local en \( x = 0 \) con \( F(0) = 5 \).