O(unción racimal (constante sobre lined) determine una funcion dominio, rongo, asintoto vertical, asntota horizontal, tablo de alores, gráfica - \( f(x)=3 /(x+2) \)

# Análisis de la función \( f(x)=\frac{3}{x+2} \) ## 1. Dominio La función está definida para todos los \( x \) tales que el denominador no sea cero: \[ x+2\neq 0 \quad \Rightarrow \quad x\neq -2. \] Por lo tanto, el dominio es: \[ D_f=\{x\in\mathbb{R}\, : \, x\neq -2\}. \] ## 2. Rango Sea \( y = \frac{3}{x+2} \). Para determinar el rango, despejamos \( x \) en función de \( y \): \[ y(x+2)=3 \quad \Rightarrow \quad x+2=\frac{3}{y} \quad \Rightarrow \quad x=\frac{3}{y}-2. \] Este proceso es posible para cualquier valor de \( y \) excepto cuando \( y=0 \) (pues se obtendría división por cero). Por lo tanto, el rango de \( f \) es: \[ R_f=\{y\in\mathbb{R}\, : \, y\neq 0\}. \] ## 3. Asíntota Vertical La asíntota vertical ocurre cuando el denominador es cero y la función tiende a \( \pm\infty \). Como se tiene \[ x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2, \] existe una asíntota vertical en: \[ x=-2. \] ## 4. Asíntota Horizontal Para determinar la asíntota horizontal, se evalúan los límites de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a \( \infty \) o \( -\infty \). Para \( x\to\infty \): \[ \lim_{x\to\infty} \frac{3}{x+2} = 0. \] Para \( x\to -\infty \): \[ \lim_{x\to -\infty} \frac{3}{x+2} = 0. \] Por lo tanto, la asíntota horizontal es: \[ y=0. \] ## 5. Tabla de Valores Se eligen valores de \( x \) alrededor de la asíntota vertical \( x=-2 \): | \( x \) | Cálculo | \( f(x)=\frac{3}{x+2} \) | |------------|--------------------------------------------|--------------------------| | \(-8\) | \( \frac{3}{-8+2}=\frac{3}{-6} \) | \(-0.5\) | | \(-5\) | \( \frac{3}{-5+2}=\frac{3}{-3} \) | \(-1\) | | \(-3\) | \( \frac{3}{-3+2}=\frac{3}{-1} \) | \(-3\) | | \(-2.5\) | \( \frac{3}{-2.5+2}=\frac{3}{-0.5} \) | \(-6\) | | \(-2.1\) | \( \frac{3}{-2.1+2}=\frac{3}{-0.1} \) | \(-30\) | | \(-1.9\) | \( \frac{3}{-1.9+2}=\frac{3}{0.1} \) | \(30\) | | \(-1\) | \( \frac{3}{-1+2}=\frac{3}{1} \) | \(3\) | | \(0\) | \( \frac{3}{0+2}=\frac{3}{2} \) | \(1.5\) | | \(2\) | \( \frac{3}{2+2}=\frac{3}{4} \) | \(0.75\) | ## 6. Gráfica de la Función La función \( f(x)=\frac{3}{x+2} \) es una función hiperbólica. Se observan las siguientes características: - **Asíntota Vertical:** \( x=-2 \). La gráfica se acerca a esta línea pero nunca la toca. - **Asíntota Horizontal:** \( y=0 \). Para \( x\to\pm\infty \), la función se aproxima a \( y=0 \). - **Comportamiento:** - Para \( x<-2 \), la función toma valores negativos y decrece (en valor absoluto, aumenta negativamente) a medida que \( x \) se acerca a \(-2\) desde la izquierda. - Para \( x>-2 \), la función toma valores positivos y aumenta a medida que \( x \) se acerca a \(-2\) desde la derecha. - **Punto de Intersección con el Eje \( y \):** Al evaluar en \( x=0 \), se obtiene: \[ f(0)=\frac{3}{0+2}=\frac{3}{2}=1.5. \] - **Comportamiento General:** La gráfica se divide en dos ramas, separadas por la asíntota vertical. La rama a la izquierda de \( x=-2 \) se extiende hacia \( y=0 \) cuando \( x\to-\infty \) y tiende a \(-\infty\) conforme \( x \to -2^- \). La rama a la derecha de \( x=-2 \) se extiende hacia \( y=0 \) cuando \( x\to\infty \) y tiende a \(+\infty\) conforme \( x\to -2^+ \). La gráfica mostrará dos ramas hiperbólicas, una ubicada en el segundo y tercer cuadrante (para \( x<-2 \)) y otra en el primer cuadrante (para \( x>-2 \)).