$$ ( \frac { \sqrt { x } } { x - 4 } - \frac { 1 } { \sqrt { x } + 2 } ) \cdot \frac { x + 2 \sqrt { x } } { \sqrt { x } } ( x 0 ; x
eq 4 ) $$

Question

$$ ( \frac { \sqrt { x } } { x - 4 } - \frac { 1 } { \sqrt { x } + 2 } ) \cdot \frac { x + 2 \sqrt { x } } { \sqrt { x } } ( x > 0 ; x 
eq 4 ) $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Giải chi tiết biểu thức

$$
\left( \frac{\sqrt{x}}{x-4} - \frac{1}{\sqrt{x}+2} \right) \cdot \frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}} \quad (x>0; \, x \neq 4)
$$

Bước 1: Đặt $$ t = \sqrt{x} $$ nên $$ x = t^2 $$. Khi đó biểu thức trở thành

$$
\left( \frac{t}{t^2-4} - \frac{1}{t+2} \right) \cdot \frac{t^2+2t}{t}.
$$

Bước 2: Biến đổi các phân số  
Vì $$ t^2-4 $$ là hiệu bình phương nên ta có

$$
t^2-4 = (t-2)(t+2).
$$

Khi đó

$$
\frac{t}{t^2-4} = \frac{t}{(t-2)(t+2)}.
$$

Biểu thức trong ngoặc tròn trở thành

$$
\frac{t}{(t-2)(t+2)} - \frac{1}{t+2}.
$$

Đưa về mẫu chung $$(t-2)(t+2)$$:

$$
\frac{t}{(t-2)(t+2)} - \frac{1}{t+2} = \frac{t - (t-2)}{(t-2)(t+2)}.
$$

Tính tử số:

$$
t - (t-2) = t-t+2 = 2.
$$

Vậy ta có

$$
\frac{t}{(t-2)(t+2)} - \frac{1}{t+2} = \frac{2}{(t-2)(t+2)}.
$$

Bước 3: Đơn giản phân số còn lại  
Phân số thứ hai là

$$
\frac{t^2+2t}{t} = \frac{t(t+2)}{t} = t+2.
$$

Bước 4: Nhân các phần lại với nhau

Biểu thức trở thành

$$
\frac{2}{(t-2)(t+2)} \cdot (t+2).
$$

Rút gọn $$t+2$$ ở tử và mẫu (với $$t \neq -2$$, nhưng với $$ t = \sqrt{x} > 0$$ điều này luôn đúng), ta được

$$
\frac{2}{t-2}.
$$

Bước 5: Thay lại $$t = \sqrt{x}$$

Kết quả cuối cùng là

$$
\frac{2}{\sqrt{x}-2}.
$$
Kết quả của biểu thức là $$ \frac{2}{\sqrt{x} - 2} $$.

\( ( \frac { \sqrt { x } } { x - 4 } - \frac { 1 } { \sqrt { x } + 2 } ) \cdot \frac { x + 2 \sqrt { x } } { \sqrt { x } } ( x > 0 ; x \neq 4 ) \)