15. 이산확튤변수 \( X \) 가 가지는 값은 \( 1,2,3,4 \) 이고 이산확률변수 \( Y \) 가 가지는 값은 \( 1,4,9,16 \) 이고 \( \mathrm{P}(X=k)=\mathrm{P}\left(Y=k^{2}\right)(k=1,2,3,4) \) 이다. \( \mathrm{E}(X)=6, \mathrm{~V}(X)=1 \) 일 때, \( \mathrm{E}(Y) \) 의 값은? [4점] \( \begin{array}{llll}\text { (1) } 33 & \text { (2) } 34 & \text { (3) } 35 & \text { (4) } 36\end{array} \)

먼저, \( X \)와 \( Y \)의 확률분포에 대해 주어진 조건을 살펴보자. 1. \( X \)의 값은 \( 1,2,3,4 \)이고, \( Y \)의 값은 \( 1,4,9,16 \)이다. 2. 두 확률변수의 확률은 \[ \mathrm{P}(X=k)=\mathrm{P}\left(Y=k^{2}\right) \quad (k=1,2,3,4) \] 이므로, \( Y \)에 대한 확률은 \( X \)의 사건 확률과 동일하다. 따라서, \( Y \)의 기댓값은 \[ \mathrm{E}(Y)= \sum_{k=1}^{4} k^{2} \cdot \mathrm{P}(X=k) \] 그런데 이는 \( X \)의 제곱의 기댓값, 즉 \[ \mathrm{E}(X^{2})=\sum_{k=1}^{4} k^{2}\cdot \mathrm{P}(X=k) \] 와 같다. 문제에서 \( \mathrm{E}(X)=6 \)과 \( \mathrm{V}(X)=1 \)이 주어졌으므로, 분산의 정의에 따라 \[ \mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^{2})-\left[\mathrm{E}(X)\right]^{2} \] 입니다. 따라서, \[ \mathrm{E}(X^{2})=\mathrm{V}(X)+\left[\mathrm{E}(X)\right]^{2} = 1+6^{2}=1+36=37. \] 즉, \[ \mathrm{E}(Y)=\mathrm{E}(X^{2})=37. \] 문제 보기는 (1) 33, (2) 34, (3) 35, (4) 36으로 주어져 있으나, 계산 결과 \( 37 \)이므로 주어진 보기에는 해당 답이 없다.