1. Se consideră triunghiul ABC, G centrul său de greutate și G' simetricul lui $$ G $$ față de punctul M, mijlocul segmentului [BC]. a) Să se arate că $$ \overrightarrow{G^{\prime} G}=\overrightarrow{G^{\prime} B}+\overrightarrow{G^{\prime} C} $$. b) Să se afle $$ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} $$ pentru care $$ \alpha \overrightarrow{G^{\prime} \mathbf{A}}+\beta \overrightarrow{G^{\prime} B}+\gamma \overline{G^{\prime} \mathbf{C}}=\overrightarrow{\mathbf{0}} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pentru a rezolva problema, vom folosi proprietățile centrului de greutate și ale simetriei.

### a) Să se arate că $$ \overrightarrow{G^{\prime} G}=\overrightarrow{G^{\prime} B}+\overrightarrow{G^{\prime} C} $$.

1. **Definirea centrului de greutate**: Centrul de greutate $$ G $$ al triunghiului $$ ABC $$ este dat de formula:
   $$
   \overrightarrow{G} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}).
   $$

2. **Definirea punctului M**: Punctul $$ M $$ este mijlocul segmentului $$ [BC] $$, deci:
   $$
   \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}).
   $$

3. **Definirea simetriei**: Punctul $$ G' $$ este simetricul lui $$ G $$ față de $$ M $$. Astfel, putem scrie:
   $$
   \overrightarrow{G'} = \overrightarrow{M} + (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{G}) = 2\overrightarrow{M} - \overrightarrow{G}.
   $$

4. **Calculul lui $$ \overrightarrow{G'} $$**:
   $$
   \overrightarrow{G'} = 2\left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})\right) - \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) = (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) - \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}).
   $$
   Simplificând, obținem:
   $$
   \overrightarrow{G'} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A} - \frac{1}{3}\overrightarrow{B} - \frac{1}{3}\overrightarrow{C} = \frac{2}{3}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A}.
   $$

5. **Calculul vectorului $$ \overrightarrow{G' G} $$**:
   $$
   \overrightarrow{G' G} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{G'} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) - \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A}\right).
   $$
   Simplificând, obținem:
   $$
   \overrightarrow{G' G} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C} - \frac{2}{3}\overrightarrow{B} - \frac{2}{3}\overrightarrow{C} + \frac{1}{3}\overrightarrow{A} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A} - \frac{1}{3}\overrightarrow{B} - \frac{1}{3}\overrightarrow{C}.
   $$

6. **Calculul vectorilor $$ \overrightarrow{G' B} $$ și $$ \overrightarrow{G' C} $$**:
   $$
   \overrightarrow{G' B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{G'} = \overrightarrow{B} - \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A}\right) = \frac{1}{3}\overrightarrow{B} - \frac{2}{3}\overrightarrow{C} + \frac{1}{3}\overrightarrow{A},
   $$
   $$
   \overrightarrow{G' C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G'} = \overrightarrow{C} - \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{B} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \frac{1}{3}\overrightarrow{A}\right) = \frac{1}{3}\overrightarrow{C} - \frac{2}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{A}.
   $$

7. **Adunarea vectorilor**:
   $$
   \overrightarrow{G' B} + \overrightarrow{G' C} = \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{B} - \frac{2}{3}\overrightarrow{C} + \frac{1}{3}\overrightarrow{A}\right) + \left(\frac{1}{3}\overrightarrow{C} - \frac{2}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{A}\right).
   $$
   Simplificând, obținem:
   $$
   = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{1}{3}\overrightarrow{A} - \frac{2}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{B} - \frac{2}{3}\overrightarrow{C} + \frac{1}{3}\overrightarrow{C} = \frac{2}{3}\overrightarrow{A} - \frac{1}{3}\overrightarrow{B} - \frac{1}{3}\overrightarrow{C} = \overrightarrow{G' G}.
   $$

Astfel, am arătat că:
$$
\overrightarrow{G' G} = \overrightarrow{G' B} + \overrightarrow{G' C}.
$$

### b) Să se afle $$ \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R} $$ pentru care
$$ \alpha \overrightarrow{G^{\prime} A}+\beta \overrightarrow{G^{\prime} B}+\gamma \overrightarrow{G^{\prime} C}=\overrightarrow{0} $$.

1. **Scriem vectorii**:
   $$
   \overrightarrow{G' A} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{G'},
   $$
   $$
   \overrightarrow{G' B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{G'},
   $$
   $$
   \overrightarrow{G' C} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{G'}.
   $$

2. **Substituim în ecuație**:
   $$
   \alpha (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{G'}) + \beta (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{G'}) + \gamma (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{G'}) = \overrightarrow{0}.
   $$
   Aceasta se poate rescrie ca:
   $$
   \alpha \overrightarrow{A} + \beta \overrightarrow{B} + \gamma \overrightarrow{C} - (\alpha + \beta + \gamma) \overrightarrow{G'} = \overrightarrow{0}.
   $$

3. **Obținem două ecuații**:
   - $$ \alpha + \beta + \gamma = 0 $$
   - $$ \alpha \overrightarrow{A} + \beta \overrightarrow{B} + \gamma \overrightarrow{C} = (\alpha + \beta + \gamma) \overrightarrow{G'} $$.

4. **Alegem valori pentru $$ \alpha, \beta, \gamma $$**:
   O soluție simplă este să alegem $$ \alpha = 1, \beta = 1, \gamma = -2 $$. Astfel, avem:
   $$
   1 + 1 - 2 = 0.
   $$

Deci, o soluție este:
$$
\alpha = 1, \beta = 1, \gamma = -2.
$$

Aceste valori satisfac ecuația cerută.
a) $$ \overrightarrow{G' G} = \overrightarrow{G' B} + \overrightarrow{G' C} $$. b) $$ \alpha = 1, \beta = 1, \gamma = -2 $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Geometry Questions