25 La plaque d'immatriculation d'une voiture comporte quatre chiffres entre 0 et 9 suivi de deux lettres sauf les lettres O, I et D. Les chiffres d'immatriculation ne commencent pas par 0. 1. Détermine le nombre de plaques d'immatriculation possibles. 2. Détermine le nombre de plaques d'immatriculation comportant deux lettres distinctes. 3. Détermine le nombre de plaques d'immatriculation comportant quatre chiffres distincts.

Pour déterminer le nombre total de plaques d'immatriculation possibles, commençons par les chiffres. Les quatre chiffres peuvent être compris entre 1 et 9 pour le premier chiffre (9 options), puis 0 à 9 pour les trois chiffres restants (10 options chacun). Donc, pour les chiffres, nous avons : \( 9 \times 10 \times 10 \times 10 = 9000 \). Concernant les lettres, il y a 26 lettres dans l’alphabet moins les 3 lettres interdites (O, I et D), ce qui nous laisse 23 lettres. Pour le choix des lettres, nous avons donc : \( 9000 \times 23 \times 23 = 4\,774\,000 \). Pour le cas des plaques avec deux lettres distinctes, on choisit 2 lettres parmi les 23 et on les arrange. Il y a donc \( C(23, 2) \times 2! = 253 \times 2 = 506 \) façons de choisir et d'arranger ces lettres. Le nombre total de plaques avec deux lettres distinctes sera : \( 9000 \times 506 = 4\,554\,000 \). Enfin, pour les plaques comportant quatre chiffres distincts, choisissons d'abord le premier chiffre parmi 9 (de 1 à 9), le deuxième chiffre parmi les 9 restants (0 à 9 sauf le premier), le troisième parmi les 8 restants, et le quatrième parmi les 7 restants. Cela donne : \( 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536 \). Puisque les lettres ne sont pas affectées par cette condition, le nombre de plaques avec quatre chiffres distincts est : \( 4536 \times 23 \times 23 = 2\,389\,536 \). En résumé : 1. Nombre total de plaques : 4,774,000 2. Nombre avec deux lettres distinctes : 4,554,000 3. Nombre avec quatre chiffres distincts : 2,389,536