Actividad 6: Factor de Integración Instrucciones: Determinar si la Ecuación Diferencial es exacta, si no lo es, Obtener el factor integración \( y \) hacerla exacta si es posible. 1. \( (2 y-6 x) d x+\left(3 x-4 x^{2} y^{-1}\right) d y=0 \) 2. \( \left(2 x^{2}+y\right) d x+\left(x^{2} y-x\right) d y=0 \) 3. \( \left(2 y^{2}-6 x y\right) d x+\left(3 x y-4 x^{2}\right) d y=0 \) 4. \( (-x y \sin x+2 y \cos x) d x+2 x \cos x d y=0 \)

Para determinar si una ecuación diferencial es exacta, primero hay que verificar si cumple con la condición de integrabilidad, que es \( \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \). Si no se cumple, se busca un factor de integración, que es una función que transforma la ecuación no exacta en una exacta. En muchos casos, los factores de integración dependen solo de \( x \) o solo de \( y \). Para la primera ecuación, una posible elección para el factor de integración es \( \mu(y) = y \). Esto transforma la ecuación a una forma exacta. En cambio, para la cuarta ecuación, un factor de integración común es \( \mu(x) = \frac{1}{2 \cos x} \), que se utiliza para simplificar la ecuación diferencial y hacerla exacta. ¡La magia de las ecuaciones diferenciales está en estos pequeños trucos!