Actividad 6: Factor de Integración Instrucciones: Determinar si la Ecuación Diferencial es exacta, si no lo es, Obtener el factor integración \( y \) hacerla exacta si es posible. 1. \( (2 y-6 x) d x+\left(3 x-4 x^{2} y^{-1}\right) d y=0 \) 2. \( \left(2 x^{2}+y\right) d x+\left(x^{2} y-x\right) d y=0 \) 3. \( \left(2 y^{2}-6 x y\right) d x+\left(3 x y-4 x^{2}\right) d y=0 \) 4. \( (-x y \sin x+2 y \cos x) d x+2 x \cos x d y=0 \)

Se nos piden, para cada ecuación diferencial de la forma   M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 determinar si es exacta y, en caso de que no lo sea, hallar un factor de integración (integrating factor) que, al multiplicar la ecuación, la haga exacta. A continuación se muestra el procedimiento y resultado para cada ejercicio. ────────────────────────────── 1) Ecuación   (2 y – 6 x) dx + (3 x – 4 x² y⁻¹) dy = 0 Identificamos:   M(x, y) = 2y – 6x      N(x, y) = 3x – 4x²/y • Verificación de exactitud:   ∂M/∂y = 2   ∂N/∂x = 3 – 8x/y Como 2 ≠ 3 – 8x/y, la ecuación NO es exacta. • Buscamos un factor de integración de la forma μ(x, y) = x^m y^n. Multiplicamos M y N por μ = x^m y^n:   M* = x^m y^n (2y – 6x) = 2 x^m y^(n+1) – 6 x^(m+1) y^n,   N* = x^m y^n (3x – 4x²/y) = 3 x^(m+1) y^n – 4 x^(m+2) y^(n–1). Para que la ecuación multiplicada sea exacta debe cumplirse que   ∂M*/∂y = ∂N*/∂x. Calculemos las derivadas parciales:   ∂M*/∂y = 2x^m (n+1)y^n – 6 x^(m+1)n y^(n–1),   ∂N*/∂x = 3(m+1)x^m y^n – 4 (m+2)x^(m+1)y^(n–1). Igualando coeficientes de los términos con las mismas potencias de x y de y se obtiene el siguiente sistema:   • Coeficiente de x^m y^(n+1):  2(n + 1) = 3(m + 1)   • Coeficiente de x^(m+1) y^(n):  –6n = –4(m + 2) ⟹ 6n = 4(m + 2) Procedemos a resolver: De la segunda ecuación:   6n = 4(m + 2) ⟹ n = (2(m + 2))/3. Sustituimos en la primera:   2[(2(m + 2))/3 + 1] = 3(m + 1). Simplificando:   2[(2m + 4 + 3)/3] = 3(m + 1) ⟹ (2(2m + 7))/3 = 3(m + 1). Multiplicando ambos lados por 3:   2(2m + 7) = 9(m + 1) ⟹ 4m + 14 = 9m + 9. De donde:   5m = 5 ⟹ m = 1.